Calcule.
\int \operatorname{sen}(x) \cos ^{4}(5 x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \sin(x)\,\cos^4\bigl(5x\bigr)\,dx.
O conteúdo principal aqui é utilizar identidades trigonométricas de redução de potência e depois usar a fórmula de produto-para-soma para integrar cada termo.

Passo 2

Vamos aplicar a identidade de redução de potência em \cos^4(y):
\cos^4(y)=\frac{3}{8}+\frac{1}{2}\cos(2y)+\frac{1}{8}\cos(4y).
Tomando y=5x, obtemos
\cos^4\bigl(5x\bigr) =\frac{3}{8}+\frac{1}{2}\cos\bigl(10x\bigr)+\frac{1}{8}\cos\bigl(20x\bigr).
Logo a integral vira
\int \sin(x)\,\cos^4(5x)\,dx =\int \sin(x)\Bigl(\tfrac{3}{8}+\tfrac{1}{2}\cos(10x)+\tfrac{1}{8}\cos(20x)\Bigr)dx.

Passo 3

Integramos o primeiro termo:
\int \frac{3}{8}\sin(x)\,dx =\frac{3}{8}\bigl(-\cos(x)\bigr) =-\frac{3}{8}\cos(x).

Passo 4

Para o segundo termo usamos a fórmula
\sin(x)\cos(10x) =\tfrac12\bigl[\sin\bigl(11x\bigr)-\sin\bigl(9x\bigr)\bigr].
Então
\int \frac12\,\sin(x)\cos(10x)\,dx =\frac12\cdot\frac12 \int\bigl[\sin(11x)-\sin(9x)\bigr]dx =\frac{1}{4}\Bigl(-\frac{\cos(11x)}{11}+\frac{\cos(9x)}{9}\Bigr).
Isto é
-\frac{1}{44}\cos(11x)+\frac{1}{36}\cos(9x).

Passo 5

Para o terceiro termo usamos de modo análogo
\sin(x)\cos(20x) =\tfrac12\bigl[\sin(21x)-\sin(19x)\bigr],
logo
\int \frac18\,\sin(x)\cos(20x)\,dx =\frac{1}{8}\cdot\frac12 \int\bigl[\sin(21x)-\sin(19x)\bigr]dx =\frac{1}{16}\Bigl(-\frac{\cos(21x)}{21}+\frac{\cos(19x)}{19}\Bigr),
que é
-\frac{1}{336}\cos(21x)+\frac{1}{304}\cos(19x).

Passo 6

Somando os três resultados e incluindo a constante C, obtemos a antiderivada completa:
-\frac{3}{8}\cos(x) -\frac{1}{44}\cos(11x) +\frac{1}{36}\cos(9x) -\frac{1}{336}\cos(21x) +\frac{1}{304}\cos(19x) + C.

Resposta

-\frac{3}{8}\cos(x) -\frac{1}{44}\cos(11x) +\frac{1}{36}\cos(9x) -\frac{1}{336}\cos(21x) +\frac{1}{304}\cos(19x) + C.

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