Calcule as integrais usando substituiçao trigonométrica. Esboce o triangulo retângulo associado.
\int \frac{x^{2}}{\left(3+4 x-4 x^{2}\right)^{3 / 2}} d x

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral
\int \frac{x^{2}}{(3+4x-4x^{2})^{3/2}}\,dx
usando substituição trigonométrica. O conteúdo envolve completar o quadrado no denominador para obter uma expressão do tipo (1-u^{2})^{3/2} e depois usar u=\sin\theta. Também vamos esboçar o triângulo que relaciona \theta e x.

Passo 2

Complete o quadrado em 3+4x-4x^{2}:
3+4x-4x^{2} = 4\bigl(1 - (x-\tfrac12)^{2}\bigr).
Isso sugere a substituição
x - \tfrac12 = \sin\theta, \quad dx = \cos\theta\,d\theta,
pois então
1 - (x-\tfrac12)^{2} = \cos^{2}\theta.

Passo 3

O triângulo retângulo associado satisfaz
\sin\theta = \frac{x-\tfrac12}{1}, \quad \cos\theta = \sqrt{1 - (x-\tfrac12)^{2}},
ou seja, cateto oposto de comprimento x-\tfrac12, cateto adjacente de comprimento \sqrt{1-(x-\tfrac12)^{2}} e hipotenusa de comprimento 1.

Passo 4

Expresse a integral em \theta. Note que
x = \tfrac12 + \sin\theta, \quad x^{2} = \bigl(\tfrac12 + \sin\theta\bigr)^{2} = \tfrac14 + \sin\theta + \sin^{2}\theta,
e
(3+4x-4x^{2})^{3/2} = \bigl(4\cos^{2}\theta\bigr)^{3/2} = 8\cos^{3}\theta.
Assim
\int \frac{x^{2}}{(3+4x-4x^{2})^{3/2}}\,dx = \int \frac{\tfrac14+\sin\theta+\sin^{2}\theta}{8\cos^{3}\theta}\,\cos\theta\,d\theta = \frac18\int \Bigl(\tfrac14\operatorname{sec}^{2}\theta + \frac{\sin\theta}{\cos^{2}\theta} + \tan^{2}\theta\Bigr)\,d\theta.

Passo 5

Agora integre termo a termo:
\int \tfrac14\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta = \tfrac14\tan\theta, \quad \int \frac{\sin\theta}{\cos^{2}\theta}\,d\theta = \operatorname{sec}\theta, \quad \int \tan^{2}\theta\,d\theta = \tan\theta - \theta.
Logo
\int \frac{x^{2}}{(3+4x-4x^{2})^{3/2}}\,dx = \frac18\Bigl(\tfrac14\tan\theta + \operatorname{sec}\theta + \tan\theta - \theta\Bigr) + C = \frac{5\tan\theta}{32} + \frac{\operatorname{sec}\theta}{8} - \frac{\theta}{8} + C.

Passo 6

Volte à variável x. Como
\tan\theta = \frac{x-\tfrac12}{\sqrt{1-(x-\tfrac12)^{2}}}, \quad \operatorname{sec}\theta = \frac{1}{\sqrt{1-(x-\tfrac12)^{2}}}, \quad \theta = \arcsin\bigl(x-\tfrac12\bigr),
e lembrando que \sqrt{1-(x-\tfrac12)^{2}}=\tfrac12\sqrt{3+4x-4x^{2}}, fica
\int \frac{x^{2}}{(3+4x-4x^{2})^{3/2}}\,dx = \frac{10x+3}{32\sqrt{3+4x-4x^{2}}} -\frac18\arcsin\!\bigl(x-\tfrac12\bigr) + C.

Resposta

\frac{10x+3}{32\sqrt{3+4x-4x^{2}}} -\frac18\arcsin\!\bigl(x-\tfrac12\bigr) + C.

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