(2.5 pontos) Use o teorema de Stokes para calcular a integral de linha
\oint_{\Gamma}\left(z-2 y+e^{x^{2}}\right) d x+\left(x-z+\ln \left(1+y^{2}\right)\right) d y+\operatorname{sen}(2 z) d z
onde \Gamma(t)=(3 \cos (t), 3 \operatorname{sen}(t), 6-3 \cos (t)-3 \operatorname{sen}(t)), 0 \leq t \leq 2 \pi.

Passo 1

O enunciado pede calcular
\displaystyle \oint_{\Gamma}P\,dx+Q\,dy+R\,dz
com
P=z-2y+e^{x^{2}},\quad Q=x-z+\ln\bigl(1+y^{2}\bigr),\quad R=\sin(2z).
Vamos usar o Teorema de Stokes que diz
\oint_{\Gamma}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} =\iint_{S}(\nabla\times\mathbf{F})\cdot\mathbf{n}\,dS,
onde \mathbf{F}=(P,Q,R) e S é uma superfície com \partial S=\Gamma.

Passo 2

Calculamos
\nabla\times\mathbf{F} =\bigl(R_{y}-Q_{z},\,P_{z}-R_{x},\,Q_{x}-P_{y}\bigr).
Como
R_{y}=0,\quad Q_{z}=-1,\quad P_{z}=1,\quad R_{x}=0,\quad Q_{x}=1,\quad P_{y}=-2,
segue
\nabla\times\mathbf{F}=(0-(-1),\,1-0,\,1-(-2))=(1,1,3).

Passo 3

A curva \Gamma satisfaz z=6-x-y e projeta-se no disco
\displaystyle D=\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le9\}.
Escolhemos S como esse disco no plano z=6-x-y. A orientação de \Gamma é anti-horária vista de cima, logo a normal tem componente z>0. Para z=g(x,y) orientada para cima vale
d\mathbf{S}=(-g_{x},-g_{y},1)\,dA =(1,1,1)\,dA.

Passo 4

Aplicando Stokes:
\iint_{S}(\nabla\times\mathbf{F})\cdot d\mathbf{S} =\iint_{D}(1,1,3)\cdot(1,1,1)\,dA =\iint_{D}5\,dA =5\cdot\bigl(\pi\cdot3^{2}\bigr) =45\pi.

Resposta

45\pi

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