Calcule as seguintes integrais.
\int_{\pi / 4}^{\pi} \cos (x) \cos (7 x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int_{\pi/4}^{\pi}\cos(x)\cos(7x)\,dx.
O conteúdo aqui é integração de funções trigonométricas, e vamos usar a identidade produto-soma para simplificar o integrando.

Passo 2

Aplicamos a identidade
\cos(a)\cos(b)=\tfrac12\bigl[\cos(a-b)+\cos(a+b)\bigr]
com a=x e b=7x. Assim
\cos(x)\cos(7x)=\tfrac12\bigl[\cos(6x)+\cos(8x)\bigr].

Passo 3

Substituindo na integral, obtemos
\int_{\pi/4}^{\pi}\cos(x)\cos(7x)\,dx =\tfrac12\int_{\pi/4}^{\pi}\bigl[\cos(6x)+\cos(8x)\bigr]dx.
Integrando termo a termo, um antiderivado é
F(x)=\tfrac12\Bigl(\tfrac{\sin(6x)}{6}+\tfrac{\sin(8x)}{8}\Bigr) =\tfrac{\sin(6x)}{12}+\tfrac{\sin(8x)}{16}.

Passo 4

Agora avaliamos entre os limites:
em x=\pi, \sin(6\pi)=0 e \sin(8\pi)=0;
em x=\pi/4, \sin(6\cdot\pi/4)=\sin(3\pi/2)=-1 e \sin(8\cdot\pi/4)=\sin(2\pi)=0.
Portanto
\int_{\pi/4}^{\pi}\cos(x)\cos(7x)\,dx = \bigl(0+0\bigr)-\Bigl(\tfrac{-1}{12}+0\Bigr) = \tfrac{1}{12}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{12}

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