Calcule.
\int \operatorname{sen}(x) \cos ^{4}(5 x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a primitiva
\int \sin(x)\,\cos^{4}(5x)\,dx
O conteúdo principal aqui é integração de produto de função trigonométrica com potência, então vamos usar a identidade de redução de potência para \cos^{4} e depois integrar termo a termo.

Passo 2

Aplicamos a identidade de redução de potência
\cos^{4}\theta = \frac{3 + 4\cos(2\theta) + \cos(4\theta)}{8}
com \theta = 5x. Assim,
\cos^{4}(5x) = \frac{3 + 4\cos(10x) + \cos(20x)}{8}.

Passo 3

Substituindo na integral, obtemos
\int \sin(x)\,\cos^{4}(5x)\,dx = \frac{1}{8}\,\int \sin(x)\bigl(3 + 4\cos(10x) + \cos(20x)\bigr)\,dx
= \frac{1}{8}\Bigl[ 3\!\int \sin(x)\,dx +4\!\int \sin(x)\cos(10x)\,dx +\!\int \sin(x)\cos(20x)\,dx \Bigr].

Passo 4

Calculamos a primeira integral isolada:
\int \sin(x)\,dx = -\cos(x).

Passo 5

Para \displaystyle \int \sin(x)\cos(10x)\,dx usamos o produto-para-soma:
\sin(x)\cos(10x) = \tfrac12\bigl[\sin(11x)+\sin(-9x)\bigr] = \tfrac12\bigl[\sin(11x)-\sin(9x)\bigr].
Logo,
\int \sin(x)\cos(10x)\,dx = \tfrac12\int\sin(11x)\,dx - \tfrac12\int\sin(9x)\,dx = -\frac{\cos(11x)}{22} + \frac{\cos(9x)}{18}.

Passo 6

Analogamente, para \displaystyle \int \sin(x)\cos(20x)\,dx:
\sin(x)\cos(20x) = \tfrac12\bigl[\sin(21x)+\sin(-19x)\bigr] = \tfrac12\bigl[\sin(21x)-\sin(19x)\bigr],
então
\int \sin(x)\cos(20x)\,dx = -\frac{\cos(21x)}{42} + \frac{\cos(19x)}{38}.

Passo 7

Voltando à combinação geral:
\int \sin(x)\cos^{4}(5x)\,dx = \frac{1}{8}\Bigl[ 3(-\cos(x)) +4\Bigl(-\frac{\cos(11x)}{22} + \frac{\cos(9x)}{18}\Bigr) +\Bigl(-\frac{\cos(21x)}{42} + \frac{\cos(19x)}{38}\Bigr) \Bigr] + C.
Agora simplificamos coeficientes:
-\frac{3}{8}\cos(x) -\frac{4}{8}\cdot\frac{1}{22}\cos(11x) +\frac{4}{8}\cdot\frac{1}{18}\cos(9x) -\frac{1}{8}\cdot\frac{1}{42}\cos(21x) +\frac{1}{8}\cdot\frac{1}{38}\cos(19x) + C.
Isto dá
-\frac{3}{8}\cos(x) -\frac{1}{44}\cos(11x) +\frac{1}{36}\cos(9x) -\frac{1}{336}\cos(21x) +\frac{1}{304}\cos(19x) + C.

Resposta

\boxed{ \int \sin(x)\cos^{4}(5x)\,dx = -\tfrac{3}{8}\cos(x) -\tfrac{1}{44}\cos(11x) +\tfrac{1}{36}\cos(9x) -\tfrac{1}{336}\cos(21x) +\tfrac{1}{304}\cos(19x) + C. }

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