Calcule as seguintes integrais.
\int \operatorname{sen}(6 x) \cos (x) d x

Passo 1

Beleza, o enunciado pede calcular
\int \sin(6x)\,\cos(x)\,dx.
É uma integral de produto de funções trigonométricas. Para resolver de forma direta, vamos usar a identidade produto-soma que transforma produto de seno e cosseno em soma de senos.

Passo 2

A identidade produto-soma é
\sin(\alpha)\cos(\beta) = \frac12\bigl[\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)\bigr].
Aqui temos \alpha=6x e \beta=x. Logo,
\sin(6x)\cos(x) = \frac12\bigl[\sin(6x+x)+\sin(6x-x)\bigr] = \frac12\bigl[\sin(7x)+\sin(5x)\bigr].

Passo 3

Substituindo isso na integral, fica
\int \sin(6x)\cos(x)\,dx = \int \frac12\bigl[\sin(7x)+\sin(5x)\bigr]\,dx = \frac12\int \sin(7x)\,dx + \frac12\int \sin(5x)\,dx.

Passo 4

Agora integramos cada termo usando \displaystyle \int \sin(kx)\,dx = -\frac{1}{k}\cos(kx) + C:
\frac12\int \sin(7x)\,dx = \frac12\Bigl(-\frac{1}{7}\cos(7x)\Bigr) = -\frac{1}{14}\cos(7x),
\frac12\int \sin(5x)\,dx = \frac12\Bigl(-\frac{1}{5}\cos(5x)\Bigr) = -\frac{1}{10}\cos(5x).

Passo 5

Somando os dois resultados e incluindo a constante de integração C, obtemos
\int \sin(6x)\cos(x)\,dx = -\frac{1}{14}\cos(7x) \;-\; \frac{1}{10}\cos(5x) \;+\; C.

Resposta

-\frac{1}{14}\cos(7x) - \frac{1}{10}\cos(5x) + C

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