Calcule as seguintes integrais.
\int \operatorname{sen}(n x) \operatorname{sen}(m x) d x

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a integral indefinida
\int \operatorname{sen}(n x)\,\operatorname{sen}(m x)\,dx
onde n e m são constantes. O conteúdo principal aqui é usar a identidade de produto para soma de funções trigonométricas e, em seguida, integrar funções do tipo \cos(kx).

Passo 2

Aplicamos a identidade trigonométrica de produto para soma:
\operatorname{sen}(A)\,\operatorname{sen}(B) =\frac{1}{2}\bigl[\cos(A - B)-\cos(A + B)\bigr].
No nosso caso, A = n x e B = m x, logo
\operatorname{sen}(n x)\,\operatorname{sen}(m x) =\frac{1}{2}\bigl[\cos\bigl((n-m)x\bigr)-\cos\bigl((n+m)x\bigr)\bigr].

Passo 3

Substituindo na integral, temos
\int \operatorname{sen}(n x)\,\operatorname{sen}(m x)\,dx =\frac{1}{2}\int \cos\bigl((n-m)x\bigr)\,dx -\frac{1}{2}\int \cos\bigl((n+m)x\bigr)\,dx.
Sabemos que
\int \cos(kx)\,dx = \frac{1}{k}\operatorname{sen}(kx)+C.
Portanto, supondo n\neq m,
\int \operatorname{sen}(n x)\,\operatorname{sen}(m x)\,dx =\frac{1}{2}\,\frac{\operatorname{sen}\bigl((n-m)x\bigr)}{\,n-m\,} -\frac{1}{2}\,\frac{\operatorname{sen}\bigl((n+m)x\bigr)}{\,n+m\,}+C.

Passo 4

Falta tratar o caso degenerado n=m. Nesse caso
\operatorname{sen}^2(n x) =\frac{1-\cos(2n x)}{2},
logo
\int \operatorname{sen}^2(n x)\,dx =\int \frac{1}{2}\,dx -\int \frac{\cos(2n x)}{2}\,dx =\frac{x}{2} -\frac{1}{2}\cdot\frac{\operatorname{sen}(2n x)}{2n}+C =\frac{x}{2}-\frac{\operatorname{sen}(2n x)}{4n}+C.

Resposta

Para n\neq m:
\int \operatorname{sen}(n x)\,\operatorname{sen}(m x)\,dx =\frac{1}{2}\,\frac{\operatorname{sen}\bigl((n-m)x\bigr)}{\,n-m\,} -\frac{1}{2}\,\frac{\operatorname{sen}\bigl((n+m)x\bigr)}{\,n+m\,}+C.
Para n=m:
\int \operatorname{sen}^2(n x)\,dx =\frac{x}{2}-\frac{\operatorname{sen}(2n x)}{4n}+C.

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