Ao decompor o quociente
\frac{x^{4}+3 x^{2}-x-8}{x^{3}+4 x}
encontraremos
x-\frac{2}{x}+\frac{x+1}{x^{2}+4}

Passo 1

O enunciado pede a decomposição do quociente
\frac{x^{4}+3x^{2}-x-8}{x^{3}+4x}
em soma de um polinômio e frações parciais. Para isso vamos usar divisão de polinômios e depois decompor o resto em frações parciais, observando que
x^{3}+4x = x\,(x^{2}+4).

Passo 2

Fazemos a divisão de x^{4}+3x^{2}-x-8 por x^{3}+4x:
  • O termo principal é x^{4}/x^{3}=x.
  • Multiplicando o divisor por x obtemos x^{4}+4x^{2}.
  • Subtraindo do numerador: (x^{4}+3x^{2}-x-8)\;-\;(x^{4}+4x^{2}) = -\,x^{2}-x-8.
Logo
\frac{x^{4}+3x^{2}-x-8}{x^{3}+4x} = x \;+\;\frac{-\,x^{2}-x-8}{x\,(x^{2}+4)}.

Passo 3

Agora decompondo
\frac{-\,x^{2}-x-8}{x\,(x^{2}+4)}
em
\frac{A}{x} \;+\;\frac{Bx+C}{x^{2}+4},
temos a igualdade
-\,x^{2}-x-8 = A\,(x^{2}+4) + (Bx+C)\,x.

Passo 4

Expandindo o lado direito:
A\,x^{2} + 4A + Bx^{2} + Cx = (A+B)\,x^{2} + C\,x + 4A.
Comparando coeficientes em ambos os lados:
  • Para x^{2}: A + B = -1.
  • Para x^{1}: C = -1.
  • Para termo constante: 4A = -8\implies A=-2.
    Então B = -1 - A = -1 + 2 = 1 e C=-1.

Passo 5

Substituindo A=-2, B=1 e C=-1, obtemos
\frac{-\,x^{2}-x-8}{x\,(x^{2}+4)} = -\frac{2}{x} \;+\;\frac{x-1}{x^{2}+4}.
Portanto a decomposição completa é
\frac{x^{4}+3x^{2}-x-8}{x^{3}+4x} = x \;-\;\frac{2}{x}\;+\;\frac{x-1}{x^{2}+4}.

Resposta

x \;-\;\frac{2}{x}\;+\;\frac{x-1}{x^{2}+4}.

Exercícios relacionados