Calcule.
\int \operatorname{sen}^{4} x \cos (2 x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \sin^{4}x \,\cos(2x)\,dx
Esse é um problema de integrais trigonométricas em que vamos usar identidades e redução de potência para transformar o integrando em soma de cossenos de múltiplos de x e depois integrar termo a termo.

Passo 2

Usamos a identidade
\cos(2x)=1-2\sin^{2}x
para reescrever o integrando:
\sin^{4}x\,\cos(2x)=\sin^{4}x-2\sin^{6}x.
Logo
\int \sin^{4}x\,\cos(2x)\,dx =\int \sin^{4}x\,dx \;-\;2\int \sin^{6}x\,dx.

Passo 3

Aplicamos as fórmulas de redução de potência:
\sin^{4}x=\frac{3-4\cos(2x)+\cos(4x)}{8}, \qquad \sin^{6}x=\frac{10-15\cos(2x)+6\cos(4x)-\cos(6x)}{32}.

Passo 4

Substituindo em cada integral:
\int \sin^{4}x\,dx =\int \frac{3-4\cos(2x)+\cos(4x)}{8}\,dx, \quad \int \sin^{6}x\,dx =\int \frac{10-15\cos(2x)+6\cos(4x)-\cos(6x)}{32}\,dx.
Portanto
\int \sin^{4}x\,\cos(2x)\,dx =\frac{1}{8}\int\bigl(3-4\cos(2x)+\cos(4x)\bigr)dx -\frac{2}{32}\int\bigl(10-15\cos(2x)+6\cos(4x)-\cos(6x)\bigr)dx.

Passo 5

Dentro das integrais combinamos constantes:
\frac{1}{8}(3-4\cos2x+\cos4x) -\frac{1}{16}(10-15\cos2x+6\cos4x-\cos6x) =\frac{-4+7\cos2x-4\cos4x+\cos6x}{16}.
Assim
\int \sin^{4}x\,\cos(2x)\,dx =\int \frac{-4+7\cos2x-4\cos4x+\cos6x}{16}\,dx.

Passo 6

Integramos termo a termo:
\int \frac{-4}{16}\,dx=-\frac{x}{4}, \quad \int \frac{7}{16}\cos2x\,dx =\frac{7}{16}\cdot\frac{\sin2x}{2} =\frac{7}{32}\sin2x,
\int -\frac{4}{16}\cos4x\,dx =-\frac{4}{16}\cdot\frac{\sin4x}{4} =-\frac{1}{16}\sin4x, \quad \int \frac{1}{16}\cos6x\,dx =\frac{1}{16}\cdot\frac{\sin6x}{6} =\frac{1}{96}\sin6x.
Somando tudo e adicionando a constante de integração C, obtemos a primitiva.

Resposta

\int \sin^{4}x\,\cos(2x)\,dx =-\frac{x}{4} +\frac{7}{32}\sin2x -\frac{1}{16}\sin4x +\frac{1}{96}\sin6x +C.

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