\quad f(0)=3, \quad \lim _{x \rightarrow 0^{-}} f(x)=4, \quad \lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)=2,
\begin{aligned} & \lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=-\infty, \quad \lim _{x \rightarrow 4^{-}} f(x)=-\infty, \quad \lim _{x \rightarrow 4^{+}} f(x)=\infty, \\\ & \lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=3 \end{aligned}

Passo 1

O enunciado nos dá informações sobre os limites laterais de f em pontos críticos e nos infinitos, além do valor em x=0. O tema aqui é classificação de descontinuidades e identificação de assíntotas (verticais e horizontais). Vamos usar a definição de limite, continuidade e assíntotas:
  • Em x=a, se \lim_{x\to a^-}f(x)\neq\lim_{x\to a^+}f(x), há uma descontinuidade do tipo salto (ou descontínua essencial de primeira espécie).
  • Se em x=a, \lim_{x\to a}f(x)=\pm\infty, há uma assíntota vertical x=a.
  • Se \lim_{x\to\pm\infty}f(x)=L finito, há uma assíntota horizontal y=L.

Passo 2

Analisamos a continuidade em x=0. Temos
\lim_{x\to0^-}f(x)=4 \quad\text{e}\quad \lim_{x\to0^+}f(x)=2,
esses dois limites não coincidem. Logo \lim_{x\to0}f(x) não existe e, portanto, f é descontínua em x=0. Como os limites laterais são finitos e diferentes, essa é uma descontinuidade de salto.

Passo 3

Observamos o valor dado f(0)=3. Mesmo que definam f(0), não há continuidade porque \lim_{x\to0}f(x) não existe. O valor f(0)=3 é irrelevante para continuidade, confirmando o salto.

Passo 4

Agora, em x=4, os limites laterais são
\lim_{x\to4^-}f(x)=-\infty, \quad \lim_{x\to4^+}f(x)=\infty.
Quando pelo menos um dos limites laterais tende a infinito, x=4 é assíntota vertical de f.

Passo 5

Finalmente, analisamos o comportamento em x\to\pm\infty:
\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty \quad\text{(sem assíntota horizontal à esquerda)},íà
\lim_{x\to\infty}f(x)=3 \quad\text{(há assíntota horizontal }y=3\text{ à direita).}áíà

Resposta

  • Em x=0: descontinuidade de salto (limites laterais 4 e 2).
  • Em x=4: assíntota vertical x=4 (limites laterais -\infty e +\infty).
  • Assíntota horizontal: y=3 quando x\to\infty.

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