Considere o problema de valor inicial
\left\{\begin{array}{c} 4 y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+y=0 \\\ y(0)=1 \\\ y^{\prime}(0)=2 \end{array}\right.
(a) Ache a solução deste problema.
(b) Determine as coordenadas \left(x_{0}, y_{0}\right) do ponto de máximo.
(c) Mude a condição inicial para y^{\prime}(0)=b e ache a solução dependente de b
(d) Determine as coordenadas ( x_{M}, y_{M} ) do ponto de máximo em termos de b. Descreve os valores x_{M} e y_{M} quando b cresce.

Passo 1

O enunciado nos dá o problema de valor inicial
4y''+4y'+y=0,\quad y(0)=1,\;y'(0)=2.
O conteúdo aqui é EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver precisamos achar a equação característica, obter a solução geral, aplicar as condições iniciais e, depois, estudar y' para localizar máximos.

Passo 2

A equação característica é
4r^2+4r+1=0,
cuja discriminante é \Delta=4^2-4\cdot4\cdot1=0, logo há raiz dupla
r=-\tfrac12.
A solução geral fica
y(x)=(C_1+C_2x)e^{-x/2}.
Impondo y(0)=1 C_1=1. Calculamos
y'(x)=\bigl[C_2-\tfrac12(C_1+C_2x)\bigr]e^{-x/2}
e assim y'(0)=C_2-\tfrac12=2 leva a C_2=\tfrac52. Portanto, a solução é
y(x)=\bigl(1+\tfrac52x\bigr)e^{-x/2}.

Passo 3

Para achar o ponto de máximo usamos y'(x)=0. No caso
y'(x)=\Bigl[2-\tfrac54x\Bigr]e^{-x/2},
logo 2-\tfrac54x=0
x_0=\tfrac{8}{5}.
O valor y_0=y(x_0) é
y_0=\Bigl(1+\tfrac52\cdot\tfrac85\Bigr)e^{-(8/5)/2} =5e^{-4/5}.

Passo 4

Se trocarmos y'(0)=b, repetimos o Passo 2 para obter
y(x)=\bigl(1+(b+\tfrac12)x\bigr)e^{-x/2}.

Passo 5

De novo y'(x)=0 leva a
b-\frac{b+\tfrac12}{2}x=0 \quad\Longrightarrow\quad x_M=\frac{4b}{2b+1}.
E
y_M=y(x_M) =\Bigl[1+(b+\tfrac12)\frac{4b}{2b+1}\Bigr]e^{-x_M/2} =(2b+1)e^{-\,\frac{2b}{2b+1}}.
Ao crescer b, nota-se que
\displaystyle x_M=\frac{4b}{2b+1} aumenta e tende a 2,
enquanto
\displaystyle y_M=(2b+1)e^{-2b/(2b+1)} cresce sem limite (comportando-se como \sim2b e^{-1} para b\to\infty).

Resposta

(a) \displaystyle y(x)=(1+\tfrac52x)e^{-x/2}.
(b) \displaystyle (x_0,y_0)=\bigl(\tfrac85,\,5e^{-4/5}\bigr).
(c) \displaystyle y(x)=\bigl(1+(b+\tfrac12)x\bigr)e^{-x/2}.
(d) \displaystyle (x_M,y_M)=\Bigl(\tfrac{4b}{2b+1},\,(2b+1)e^{-\,\frac{2b}{2b+1}}\Bigr). Ao aumentar b, x_M cresce e tende a 2, e y_M cresce sem limite.

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