Calcule
\int \operatorname{senh} x^{3} d x.

Passo 1

O enunciado pede a primitiva
\int \operatorname{sinh}\!\bigl(x^{3}\bigr)\,dx.
Aqui o conteúdo é integração de função hiperbólica com argumento não-linear. Vamos ver que não há forma elementar fechada e, em vez disso, usar a série de Taylor de \operatorname{sinh} t.

Passo 2

A substituição direta u=x^{3} leva a du=3x^{2}dx, mas no integrando só temos dx, sem o fator x^{2}. Logo, não conseguimos expressar tudo em função de u de modo elementar. Por isso partimos para a expansão em série.

Passo 3

Recordando a definição em série de Taylor, para todo t\in\mathbb{R},
\operatorname{sinh} t \;=\;\sum_{k=0}^{\infty}\frac{t^{2k+1}}{(2k+1)!}.
Substituindo t=x^{3}, obtemos
\operatorname{sinh}\bigl(x^{3}\bigr) =\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\bigl(x^{3}\bigr)^{2k+1}}{(2k+1)!} =\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{6k+3}}{(2k+1)!}.

Passo 4

Integramos termo a termo (válido pois a série converge uniformemente em qualquer intervalo compacto):
\int \operatorname{sinh}\bigl(x^{3}\bigr)\,dx =\int \sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{6k+3}}{(2k+1)!}\,dx =\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(2k+1)!}\,\int x^{6k+3}\,dx =\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{6k+4}}{(6k+4)\,(2k+1)!}+C.

Resposta

\boxed{ \int \operatorname{sinh}\!\bigl(x^{3}\bigr)\,dx =\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{6k+4}}{(6k+4)\,(2k+1)!}+C. }

Exercícios relacionados