Determine os intervalos de crescimento e descrescimento das funções abaixo:
f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)

Passo 1

O enunciado pede para determinar os intervalos em que a função
f(x) = (x-1)(x-2)(x-3)
é crescente ou decrescente. O conteúdo da matéria é monotonicidade de funções, e vamos precisar calcular a primeira derivada f'(x) e analisar onde ela é positiva (crescimento) ou negativa (decrescimento).

Passo 2

Primeiro, expandimos ou aplicamos regra do produto para achar a derivada. É mais direto expandir:
f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6,
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f'(x) = 3x^2 - 12x + 11.

Passo 3

Agora encontramos os pontos críticos resolvendo f'(x)=0:
3x^2 - 12x + 11 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4\cdot3\cdot11}}{2\cdot3} = \frac{12 \pm \sqrt{12}}{6} = \frac{12 \pm 2\sqrt{3}}{6} = 2 \pm \frac{\sqrt{3}}{3}.
Chamemos
x_1 = 2 - \frac{\sqrt{3}}{3}, \qquad x_2 = 2 + \frac{\sqrt{3}}{3}.
Como f'(x) é um polinômio quadrático com coeficiente positivo em x^2, ele é positivo para x < x_1 e x > x_2, e negativo em x_1 < x < x_2.

Passo 4

Da análise do sinal de f'(x):
  • Em (-\infty, x_1), temos f'(x)>0, logo f é crescente.
  • Em (x_1, x_2), temos f'(x)<0, logo f é decrescente.
  • Em (x_2, +\infty), temos f'(x)>0, logo f é crescente.

Resposta

Crescente em \bigl(-\infty, 2 - \tfrac{\sqrt3}{3}\bigr) e em \bigl(2 + \tfrac{\sqrt3}{3}, +\infty\bigr).
Decrescente em \bigl(2 - \tfrac{\sqrt3}{3}, 2 + \tfrac{\sqrt3}{3}\bigr).

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