Calcule
\int_{-\pi / 4}^{\pi / 4} \frac{t^{4} \tan t}{2+\cos t} d t.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{-\pi/4}^{\pi/4}\frac{t^{4}\,\tan t}{2+\cos t}\,dt.
O conteúdo principal é o uso de paridade de funções (pares e ímpares) e a simetria do intervalo de integração.

Passo 2

Definimos o integrando
f(t)=\frac{t^{4}\,\tan t}{2+\cos t}.
Note que t^{4} é função par, \tan t é função ímpar e 2+\cos t é função par. Assim, o produto t^{4}\,\tan t é ímpar, e dividindo por uma função par preserva-se a ímparidade. Logo
f(-t)=-f(t),
ou seja, f é ímpar.

Passo 3

Como f é ímpar e o intervalo de integração é simétrico em relação a zero \bigl[-\pi/4,\pi/4\bigr], vale a propriedade
\int_{-a}^{a}f(t)\,dt=0.
Portanto,
\int_{-\pi/4}^{\pi/4}\frac{t^{4}\,\tan t}{2+\cos t}\,dt=0.

Resposta

0

Exercícios relacionados