Calcule
\int_{0}^{1}(1-t)\left(2+t^{2}\right) d t

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral definida
\int_{0}^{1}(1-t)\bigl(2+t^{2}\bigr)\,dt.
O conteúdo aqui é integração de polinômios: vamos expandir o produto, integrar termo a termo usando a regra de potência e avaliar de 0 a 1.

Passo 2

Expandimos o integrando:
(1 - t)(2 + t^2) = 2 - 2t + t^2 - t^3.

Passo 3

Integramos cada termo e avaliamos de 0 a 1:
\int_{0}^{1}(2 - 2t + t^2 - t^3)\,dt = \Bigl[2t - t^2 + \tfrac{t^3}{3} - \tfrac{t^4}{4}\Bigr]_{0}^{1} = 2 - 1 + \tfrac{1}{3} - \tfrac{1}{4} = 1 + \tfrac{1}{12} = \tfrac{13}{12}.

Resposta

\tfrac{13}{12}

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