a) Determine e classifique os pontos críticos da função
.
b) Considerando as informações obtidas no item a) determine os pontos de máximos e mínimos se restringirmos o domínio da função à
b) Considerando as informações obtidas no item a) determine os pontos de máximos e mínimos se restringirmos o domínio da função à
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Encontrar e classificar os pontos críticos de
usando gradiente e matriz Hessiana (conteúdo: cálculo de extremos em
).
2. No domínio fechado
2. No domínio fechado
determinar os extremos globais (conteúdo: teorema de Weierstrass + checagem de borda).
Passo 2
O gradiente é
Zerando cada componente:
Logo os pontos críticos são
Passo 3
A matriz Hessiana é diagonal, pois
Em cada ponto:
- Em
: definida positiva ⇒ ponto de mínimo local. - Em
: definida negativa ⇒ ponto de máximo local. - Em
e : sinais opostos nos autovalores ⇒ pontos de sela.
Passo 4
Como
é compacto, há extremos globais. Primeiro, dos críticos, só
e
ficam no interior de
. Calculamos
Passo 5
Borda vertical
e
:
- Para
, em . Derivada dá . Avaliando:
- Para
,
mesma derivada crítica
. Avaliando:
Passo 6
Borda horizontal
e
:
- Para
,
em
. Derivada
dá
. Avaliando:
- Para
,
mesma derivada crítica
. Avaliando:
Passo 7
Coleto todos os valores obtidos:
- No interior:
em , em . - Na borda:
em e ;
em ;
demais valores ficam entree .
Portanto o máximo global ée o mínimo global é .
Resposta
a) Pontos críticos e classificação:
mínimo local;
máximo local;
e
sela.
b) Sobre
:
Máximos globais em e
com
.
Mínimos globais em e
com
.
Máximos globais em
Mínimos globais em