a) Determine e classifique os pontos críticos da função f(x, y)=x^{3}+y^{3}-3 x-3 y.
b) Considerando as informações obtidas no item a) determine os pontos de máximos e mínimos se restringirmos o domínio da função à D_{f}=\left\{(x, y) \in \mathcal{R}^{2} \mid 0 \leq x \leq 2 e-2 \leq y \leq 2\right\}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. Encontrar e classificar os pontos críticos de
f(x,y)=x^3+y^3-3x-3y,
usando gradiente e matriz Hessiana (conteúdo: cálculo de extremos em \mathbb{R}^2).
2. No domínio fechado
D_f=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid 0\le x\le2,\;-2\le y\le 2\},
determinar os extremos globais (conteúdo: teorema de Weierstrass + checagem de borda).

Passo 2

O gradiente é
\nabla f(x,y)=\bigl(3x^2-3,\;3y^2-3\bigr).
Zerando cada componente:
3x^2-3=0\implies x^2=1\implies x=\pm1,\quad 3y^2-3=0\implies y^2=1\implies y=\pm1.
Logo os pontos críticos são
(-1,-1),\;(-1,1),\;(1,-1),\;(1,1).

Passo 3

A matriz Hessiana é diagonal, pois
H_f(x,y)=\begin{pmatrix}6x&0\\\ 0&6y\end{pmatrix}.
Em cada ponto:
  • Em (1,1): H_f=\mathrm{diag}(6,6) definida positiva ⇒ ponto de mínimo local.
  • Em (-1,-1): H_f=\mathrm{diag}(-6,-6) definida negativa ⇒ ponto de máximo local.
  • Em (1,-1) e (-1,1): sinais opostos nos autovalores ⇒ pontos de sela.

Passo 4

Como D_f é compacto, há extremos globais. Primeiro, dos críticos, só (1,1) e (1,-1) ficam no interior de D_f. Calculamos
f(1,1)=1+1-3-3=-4,\quad f(1,-1)=1-1-3+3=0.

Passo 5

Borda vertical x=0 e x=2:
  • Para x=0, f(0,y)=y^3-3y em [-2,2]. Derivada 3y^2-3=0 y=\pm1. Avaliando:
f(0,-2)=-2,\;f(0,-1)=2,\;f(0,1)=-2,\;f(0,2)=2.
  • Para x=2,
f(2,y)=8+y^3-6-3y=y^3-3y+2,
mesma derivada crítica y=\pm1. Avaliando:
f(2,-2)=0,\;f(2,-1)=4,\;f(2,1)=0,\;f(2,2)=4.

Passo 6

Borda horizontal y=-2 e y=2:
  • Para y=-2,
f(x,-2)=x^3-3x-2
em x\in[0,2]. Derivada 3x^2-3=0 x=1. Avaliando:
f(0,-2)=-2,\;f(1,-2)=-4,\;f(2,-2)=0.
  • Para y=2,
f(x,2)=x^3-3x+2
mesma derivada crítica x=1. Avaliando:
f(0,2)=2,\;f(1,2)=0,\;f(2,2)=4.

Passo 7

Coleto todos os valores obtidos:
  • No interior: -4 em (1,1), 0 em (1,-1).
  • Na borda:
    \,f=4 em (2,-1) e (2,2);
    \,f=-4 em (1,-2);
    demais valores ficam entre -2 e 2.
    Portanto o máximo global é 4 e o mínimo global é -4.

Resposta

a) Pontos críticos e classificação: (1,1) mínimo local; (-1,-1) máximo local; (1,-1) e (-1,1) sela.
b) Sobre D_f:
Máximos globais em (2,-1) e (2,2) com f=4.
Mínimos globais em (1,1) e (1,-2) com f=-4.

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