(a) (2 pontos) Encontre a série de Fourier em senos, com período 4.
(b) (1 ponto) Para qual valor a série converge quando x=2 ? \qquad
Passo 1
O enunciado define uma função periódica de período 4 em [0,2]\) por
\[f(x)= \begin{cases} x, & 0 \le x \le 1,\\\\ 1, & 1 < x < 2, \end{cases}
e pede a série de Fourier em senos (isto é, o desenvolvimento em senos na base \sin\bigl(n\pi x/L\bigr)\] com \(L=2) e, em (b), o valor de convergência em x=2. Para isso vamos usar a extensão ímpar de f em [-2,2] e a fórmula padrão de coeficientes de série em senos.
Chamemos \displaystyle I_1=\int_{0}^{1}x\sin(kx)\,dx e \displaystyle I_2=\int_{1}^{2}\sin(kx)\,dx.
Usamos integração por partes em I_1 e primitivação direta em I_2.
Em x=2 há descontinuidade na extensão ímpar: \displaystyle f(2^-)=1 e \displaystyle f(2^+)=-1.
Pelo teorema de Dirichlet a série converge para a média \bigl(1+(-1)\bigr)/2=0.