Èm relaçĩo à funçĩo
f(x)= \begin{cases}x, & 0 \leq x \leq 1 \\\\ 1, & 1 \leq x<2\end{cases}
(a) (2 pontos) Encontre a série de Fourier em senos, com período 4.
(b) (1 ponto) Para qual valor a série converge quando x=2 ?
\qquad

Passo 1

O enunciado define uma função periódica de período 4 em [0,2]\) por \[f(x)= \begin{cases} x, & 0 \le x \le 1,\\\\ 1, & 1 < x < 2, \end{cases}
e pede a série de Fourier em senos (isto é, o desenvolvimento em senos na base \sin\bigl(n\pi x/L\bigr)\] com \(L=2) e, em (b), o valor de convergência em x=2. Para isso vamos usar a extensão ímpar de f em [-2,2] e a fórmula padrão de coeficientes de série em senos.

Passo 2

Numa série de senos em [0,L] com L=2 temos
f(x)\sim \sum_{n=1}^{\infty}b_n\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{2}\bigr),
onde
b_n = \frac{2}{L}\int_{0}^{L} f(x)\,\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{L}\bigr)\,dx = \int_{0}^{2} f(x)\,\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{2}\bigr)\,dx.

Passo 3

Dividimos a integral em duas partes, sobre [0,1] e [1,2]:
b_n =\int_{0}^{1}x\sin\!\bigl(kx\bigr)\,dx +\int_{1}^{2}1\cdot\sin\!\bigl(kx\bigr)\,dx, \quad k=\frac{n\pi}{2}.
Chamemos
\displaystyle I_1=\int_{0}^{1}x\sin(kx)\,dx e
\displaystyle I_2=\int_{1}^{2}\sin(kx)\,dx.
Usamos integração por partes em I_1 e primitivação direta em I_2.

Passo 4

Calculando cada uma:
I_1 =-\frac{x\cos(kx)}{k}\Big|_{0}^{1} +\frac{1}{k}\int_{0}^{1}\cos(kx)\,dx =-\frac{\cos k}{k}+\frac{\sin k}{k^2},
I_2 =\Bigl[-\frac{\cos(kx)}{k}\Bigr]_{1}^{2} =\frac{\cos k-\cos(2k)}{k}.
Somando b_n=I_1+I_2 e usando \cos(2k)=\cos(n\pi)=(-1)^n e \sin k=\sin(\tfrac{n\pi}{2}), obtemos
b_n =\frac{\sin(\tfrac{n\pi}{2})}{k^2} -\frac{(-1)^n}{k} = \frac{4}{n^2\pi^2}\,\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi}{2}\bigr) -\frac{2(-1)^n}{n\pi}.

Passo 5

Portanto a série de Fourier em senos é
f(x) =\sum_{n=1}^{\infty} \Bigl[\, \frac{4}{n^2\pi^2}\,\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi}{2}\bigr) -\frac{2(-1)^n}{n\pi} \Bigr] \sin\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{2}\bigr).

Passo 6

Em x=2 há descontinuidade na extensão ímpar:
\displaystyle f(2^-)=1 e \displaystyle f(2^+)=-1.
Pelo teorema de Dirichlet a série converge para a média
\bigl(1+(-1)\bigr)/2=0.

Resposta

(a)
f(x) =\sum_{n=1}^{\infty} \Bigl[ \frac{4}{n^2\pi^2}\,\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi}{2}\bigr) -\frac{2(-1)^n}{n\pi} \Bigr] \sin\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{2}\bigr).
(b) Em x=2 a série converge para 0.

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