Calcule as seguintes integrais:
Use as seguintes fórmulas dadas para calcular as integrais a seguir.
g) \int \frac{1}{\sqrt{e^{2 x}-1}} d x.

Passo 1

O enunciado nos pede para calcular a integral
\int \frac{1}{\sqrt{e^{2x}-1}}\,dx.
O conteúdo que vamos usar é integração por substituição e a fórmula de integrais de funções inversas trigonométricas.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = e^x,
então
du = e^x\,dx \quad\Longrightarrow\quad dx = \frac{du}{u}.
Isso transforma a parte exponencial em uma expressão algébrica em u.

Passo 3

Substituindo na integral, obtemos
\int \frac{1}{\sqrt{e^{2x}-1}}\,dx =\int \frac{1}{\sqrt{u^2-1}}\;\frac{du}{u} =\int \frac{du}{u\,\sqrt{u^2-1}}.
Reconhecemos na última expressão a forma da fórmula
\int \frac{du}{u\,\sqrt{u^2-1}} =\operatorname{arccos}\!\bigl(\tfrac1u\bigr)+C.

Passo 4

Aplicando diretamente essa fórmula à nossa integral em u, temos
\int \frac{du}{u\,\sqrt{u^2-1}} =\operatorname{arccos}\bigl(u^{-1}\bigr)+C.

Passo 5

Voltando à variável x, note que u^{-1}=e^{-x}. Logo,
\int \frac{1}{\sqrt{e^{2x}-1}}\,dx =\operatorname{arccos}\bigl(e^{-x}\bigr)+C.

Resposta

\operatorname{arccos}\bigl(e^{-x}\bigr)+C

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