Calcule
\int_{0}^{\pi} \cos ^{4}(t) \operatorname{sen}(t) d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{0}^{\pi}\cos^{4}(t)\,\operatorname{sen}(t)\,dt.
O conteúdo principal aqui é o método de substituição (troca de variável) em integrais. Vamos escolher uma substituição que simplifique o fator \cos^{4}(t) junto com \operatorname{sen}(t)\,dt.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = \cos(t), \qquad du = -\operatorname{sen}(t)\,dt
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\operatorname{sen}(t)\,dt = -\,du.
Precisamos também alterar os limites de integração: quando t=0, u=\cos(0)=1; quando t=\pi, u=\cos(\pi)=-1.

Passo 3

Substituindo na integral original, obtemos
\int_{0}^{\pi}\cos^{4}(t)\,\operatorname{sen}(t)\,dt =\int_{u=1}^{u=-1}u^{4}\,(-du) =\int_{u=-1}^{u=1}u^{4}\,du.

Passo 4

Agora basta calcular a integral de uma potência de u:
\int_{-1}^{1}u^{4}\,du =\left[\frac{u^{5}}{5}\right]_{-1}^{1} =\frac{1^{5}}{5}-\frac{(-1)^{5}}{5} =\frac{1}{5}-\Bigl(-\frac{1}{5}\Bigr) =\frac{2}{5}.

Resposta

\displaystyle \frac{2}{5}

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