Calcule
\int_{0}^{\pi} x \cos \left(x^{2}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{\pi} x \cos\bigl(x^{2}\bigr)\,dx
Este é um caso clássico de integração por substituição: vamos identificar dentro da integral uma função cuja derivada apareça multiplicando.

Passo 2

Observamos que a parte x\,dx sugere a substituição
u = x^{2}
Assim,
du = 2x\,dx \quad\Longrightarrow\quad x\,dx = \frac{du}{2}.

Passo 3

Precisamos também trocar os limites de integração. Quando x=0, u=0^{2}=0. Quando x=\pi, u=\pi^{2}.
Substituindo tudo na integral, obtemos
\int_{0}^{\pi} x \cos\bigl(x^{2}\bigr)\,dx = \int_{u=0}^{u=\pi^{2}} \cos(u)\,\frac{du}{2} = \frac{1}{2}\int_{0}^{\pi^{2}} \cos(u)\,du.

Passo 4

Agora é só integrar \cos(u). Temos
\int_{0}^{\pi^{2}} \cos(u)\,du = \bigl[\sin(u)\bigr]_{0}^{\pi^{2}} = \sin\bigl(\pi^{2}\bigr)-\sin(0) = \sin\bigl(\pi^{2}\bigr).
Multiplicando pelo fator \tfrac12, concluímos que
\int_{0}^{\pi} x \cos\bigl(x^{2}\bigr)\,dx = \frac{1}{2}\,\sin\bigl(\pi^{2}\bigr).

Resposta

\frac{\sin\bigl(\pi^{2}\bigr)}{2}

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