Calcule:
\int_{-\pi}^{\pi} \cos ^{2}(2 x) d x.

Passo 1

O enunciado nos pede para calcular a integral
\int_{-\pi}^{\pi} \cos^2(2x)\,dx.
Esse é um problema de integração de funções trigonométricas, e vamos usar uma identidade que transforma o quadrado de cosseno em soma de cossenos.

Passo 2

Usamos a identidade
\cos^2(2x)=\frac{1+\cos(4x)}{2}.
Substituindo na integral, obtemos
\int_{-\pi}^{\pi}\cos^2(2x)\,dx =\int_{-\pi}^{\pi}\frac{1+\cos(4x)}{2}\,dx =\frac{1}{2}\int_{-\pi}^{\pi}1\,dx +\frac{1}{2}\int_{-\pi}^{\pi}\cos(4x)\,dx.

Passo 3

Calculamos separadamente cada termo:
  1. Primeiro termo
\frac{1}{2}\int_{-\pi}^{\pi}1\,dx =\frac{1}{2}[\,x\,]_{-\pi}^{\pi} =\frac{1}{2}(\pi-(-\pi)) =\pi.
  1. Segundo termo
\frac{1}{2}\int_{-\pi}^{\pi}\cos(4x)\,dx =\frac{1}{2}\Bigl[\frac{\sin(4x)}{4}\Bigr]_{-\pi}^{\pi} =\frac{1}{8}\bigl(\sin(4\pi)-\sin(-4\pi)\bigr) =0.
Somando os resultados, a integral vale \pi.

Resposta

\pi

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