Exercício 7. Determine f^{-1}[\{0\}], f^{-1}[\{1\}] e f^{-1}[\{2\}], para cada uma das seguintes funções f
f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}, f(n)=3 n+1.

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f\colon \mathbb{N}\to\mathbb{N},\quad f(n)=3n+1
e pede os conjuntos f^{-1}[\{0\}], f^{-1}[\{1\}] e f^{-1}[\{2\}]. O conteúdo aqui é a noção de imagem inversa (pré-imagem) de um conjunto.

Passo 2

A imagem inversa de um conjunto B\subseteq\mathbb{N} por f é
f^{-1}[B]=\{\,n\in\mathbb{N}\mid f(n)\in B\}.
Para B=\{a\}, isso vira
f^{-1}[\{a\}]=\{\,n\in\mathbb{N}\mid f(n)=a\}.

Passo 3

Vamos achar f^{-1}[\{0\}]. Resolvemos
3n+1=0\quad\Longrightarrow\quad n=-\tfrac13,
que não pertence a \mathbb{N}. Logo não há n\in\mathbb{N} tal que f(n)=0.

Passo 4

Agora f^{-1}[\{1\}]. Resolvemos
3n+1=1\quad\Longrightarrow\quad 3n=0\quad\Longrightarrow\quad n=0,
e 0\in\mathbb{N}. Portanto há exatamente um n que mapeia em 1, que é n=0.

Passo 5

Por fim f^{-1}[\{2\}]. Resolvemos
3n+1=2\quad\Longrightarrow\quad 3n=1\quad\Longrightarrow\quad n=\tfrac13,
que não está em \mathbb{N}. Logo não existe pré-imagem.

Resposta

f^{-1}[\{0\}]=\emptyset
f^{-1}[\{1\}]=\{0\}
f^{-1}[\{2\}]=\emptyset

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