Determine todos os números reais x que satisfazem:
\left|5 x-x^{2}-6\right|=x^{2}-5 x+6

Passo 1

O enunciado pede para resolver
\bigl|5x - x^{2} - 6\bigr| \;=\; x^{2} - 5x + 6.
O conteúdo principal aqui é a manipulação de valor absoluto e a resolução de uma inequação quadrática. Vamos definir uma expressão quadrática e transformar o módulo para eliminar o valor absoluto.

Passo 2

Defina
A = x^{2} - 5x + 6.
Então note que
5x - x^{2} - 6 = -(x^{2} - 5x + 6) = -A,
e assim
\bigl|5x - x^{2} - 6\bigr| = \lvert -A\rvert = \lvert A\rvert.
A equação original passa a ser
\lvert A\rvert = A.

Passo 3

A igualdade \lvert A\rvert = A ocorre exatamente quando
A \ge 0.
Porque, por definição de módulo, se A<0 teríamos \lvert A\rvert=-A, e daí -A=A levaria a A=0, o que já está contemplado em A\ge0. Logo basta exigir
x^{2} - 5x + 6 \;\ge\; 0.

Passo 4

Resolvendo a inequação
x^{2} - 5x + 6 \;\ge\; 0
fatoramos o polinômio:
x^{2} - 5x + 6 = (x-2)(x-3).
Como é uma parábola com concavidade para cima, a solução de (x-2)(x-3)\ge0 é
x \le 2 \quad\text{ou}\quad x \ge 3.

Resposta

A solução da equação é
x \in (-\infty,2]\;\cup\;[3,\infty).

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