Resolva as integrais abaixo.
(1.0) \int \frac{\operatorname{sen}(\ln (3 x))}{x}+x \cos \left(x^{2}\right) d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{\sin\bigl(\ln(3x)\bigr)}{x} \;+\; x\cos\bigl(x^{2}\bigr)\,dx.
O conteúdo que vamos usar é a técnica de substituição em integrais, aproveitando que temos termos da forma f'(\text{algo})\cdot\cos(\text{algo}) ou f'(\text{algo})\cdot\sin(\text{algo}).

Passo 2

Perceba que a função a ser integrada é soma de duas parcelas. Podemos então escrever
\int \frac{\sin\bigl(\ln(3x)\bigr)}{x}\,dx \;+\; \int x\cos\bigl(x^{2}\bigr)\,dx.
Cada uma dessas integrais será resolvida separadamente por substituição.

Passo 3

Para
\int \frac{\sin\bigl(\ln(3x)\bigr)}{x}\,dx
faça a substituição
u = \ln(3x)\quad\Longrightarrow\quad du = \frac{1}{x}\,dx.
Assim a integral fica
\int \sin(u)\,du = -\cos(u) + C_{1} = -\cos\bigl(\ln(3x)\bigr) + C_{1}.

Passo 4

Para
\int x\cos\bigl(x^{2}\bigr)\,dx
use a substituição
t = x^{2}\quad\Longrightarrow\quad dt = 2x\,dx \quad\Longrightarrow\quad x\,dx = \frac{dt}{2}.
Logo
\int x\cos\bigl(x^{2}\bigr)\,dx = \int \cos(t)\,\frac{dt}{2} = \frac{1}{2}\int \cos(t)\,dt = \frac{1}{2}\sin(t) + C_{2} = \frac{1}{2}\sin\bigl(x^{2}\bigr) + C_{2}.

Passo 5

Somando as duas partes e reunindo as constantes em uma só, obtemos
\int \frac{\sin\bigl(\ln(3x)\bigr)}{x} + x\cos\bigl(x^{2}\bigr)\,dx = -\cos\bigl(\ln(3x)\bigr) + \frac{1}{2}\sin\bigl(x^{2}\bigr) + C.

Resposta

-\cos\bigl(\ln(3x)\bigr) + \frac{1}{2}\sin\bigl(x^{2}\bigr) + C.

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