Resolva as integrais abaixo.
(1.0) \int 2 \sqrt[5]{x^{2}}-\frac{3}{x}+e^{6 x}-\operatorname{sen}(2 x) d x.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede
\int \Bigl(2 \sqrt[5]{x^{2}} \;-\;\frac{3}{x}\;+\;e^{6x}\;-\;\operatorname{sen}(2x)\Bigr)\,dx.
Primeiro reescrevemos \sqrt[5]{x^2} = x^{2/5}. Então o integrando fica
2x^{2/5} - 3x^{-1} + e^{6x} - \operatorname{sen}(2x).
Para resolver, vamos usar as seguintes regras:
  1. Regra da potência \displaystyle \int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}.
  2. \displaystyle \int x^{-1}dx = \ln|x|.
  3. \displaystyle \int e^{ax}dx = \frac{e^{ax}}{a}.
  4. \displaystyle \int \operatorname{sen}(ax)\,dx = -\frac{\cos(ax)}{a}.

Passo 2

Integramos o termo 2x^{2/5} com a regra da potência. Aqui n = \tfrac{2}{5}, então
\int 2x^{2/5}\,dx = 2\;\frac{x^{2/5 + 1}}{2/5 + 1} = 2\;\frac{x^{7/5}}{7/5} = \frac{10}{7}\,x^{7/5}.

Passo 3

Para -3x^{-1} usamos \displaystyle \int x^{-1}dx = \ln|x|, obtendo
\int -3x^{-1}\,dx = -3\,\ln|x|.

Passo 4

No termo e^{6x} aplicamos \displaystyle \int e^{ax}dx = \frac{e^{ax}}{a}, com a=6:
\int e^{6x}\,dx = \frac{e^{6x}}{6}.

Passo 5

Finalmente, para -\operatorname{sen}(2x) usamos \displaystyle \int \operatorname{sen}(ax)\,dx = -\frac{\cos(ax)}{a}, com a=2:
\int -\operatorname{sen}(2x)\,dx = -\Bigl(-\frac{\cos(2x)}{2}\Bigr) = \frac{\cos(2x)}{2}.

Passo 6

Somando todas as primitivas e incluindo a constante de integração C, temos
\frac{10}{7}\,x^{7/5} \;-\;3\ln|x| \;+\;\frac{e^{6x}}{6} \;+\;\frac{\cos(2x)}{2} \;+\;C.

Resposta

\frac{10}{7}\,x^{7/5} -3\ln|x| +\frac{1}{6}e^{6x} +\frac{1}{2}\cos(2x) +C.

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