(2) Calcule \int_{0}^{2 \pi} \frac{d \theta}{(3+2 \cos (\theta))^{2}} onde z=e^{i \theta}

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de
\int_{0}^{2\pi}\frac{d\theta}{\bigl(3+2\cos\theta\bigr)^{2}}
usando a substituição complexa z=e^{i\theta}. Vamos usar integração no contorno |z|=1 e o teorema dos resíduos para avaliar essa integral.

Passo 2

Fazendo z=e^{i\theta} temos
d\theta = \frac{dz}{i\,z}, \qquad \cos\theta = \frac{z + z^{-1}}{2}.
Logo
3+2\cos\theta = 3 + (z+z^{-1}) = \frac{z^{2} + 3z + 1}{z}.
Então
\bigl(3+2\cos\theta\bigr)^{2} = \frac{\bigl(z^{2}+3z+1\bigr)^{2}}{z^{2}},
e a integral vira
\int_{0}^{2\pi}\frac{d\theta}{(3+2\cos\theta)^{2}} = \oint_{|z|=1} \frac{1}{\bigl(z^{2}+3z+1\bigr)^{2}/z^{2}}\;\frac{dz}{i\,z} = \oint_{|z|=1}\frac{z}{i\,(z^{2}+3z+1)^{2}}\,dz.

Passo 3

Identificamos o integrando
f(z)=\frac{z}{i\,(z^{2}+3z+1)^{2}}
e precisamos dos polos de ordem 2 em \{z: z^{2}+3z+1=0\}. As raízes são
z_{1}=\frac{-3+\sqrt{5}}{2}, \quad z_{2}=\frac{-3-\sqrt{5}}{2}.
Num módulo, |z_{1}|<1 e |z_{2}|>1, então somente z_{1} está dentro do círculo unitário.

Passo 4

Para um polo de ordem 2 em z_{1}, a fórmula do resíduo é
\Res(f,z_{1}) =\frac{1}{1!}\lim_{z\to z_{1}} \frac{d}{dz}\Bigl[(z-z_{1})^{2}f(z)\Bigr] =\lim_{z\to z_{1}} \frac{d}{dz}\frac{z}{i\,(z-z_{2})^{2}}.
Defina
g(z)=\frac{z}{i\,(z-z_{2})^{2}},
então
g'(z) =\frac{1}{i}\Bigl[(z-z_{2})^{-2}-2z\,(z-z_{2})^{-3}\Bigr] =\frac{1}{i}\,\frac{(z-z_{2})-2z}{(z-z_{2})^{3}} =\frac{1}{i}\,\frac{-z-z_{2}}{(z-z_{2})^{3}}.
Em z=z_{1} temos z_{1}+z_{2}=-3 e z_{1}-z_{2}=\sqrt{5}, então
\Res(f,z_{1}) =\frac{1}{i}\,\frac{-\bigl(z_{1}+z_{2}\bigr)}{(z_{1}-z_{2})^{3}} =\frac{1}{i}\,\frac{3}{(\sqrt{5})^{3}} =\frac{3}{5\sqrt{5}\,i} =-\frac{3\,i}{5\sqrt{5}}.

Passo 5

Pelo teorema dos resíduos,
\oint_{|z|=1}f(z)\,dz =2\pi i\;\Res(f,z_{1}) =2\pi i\;\bigl(-\tfrac{3\,i}{5\sqrt{5}}\bigr) =\frac{6\pi}{5\sqrt{5}}.
Esse valor é exatamente a integral real que queremos.

Resposta

\int_{0}^{2\pi}\frac{d\theta}{\bigl(3+2\cos\theta\bigr)^{2}} =\frac{6\pi}{5\sqrt{5}}.

Exercícios relacionados