(2) Calcule \int_{0}^{2 \pi} \frac{d \theta}{(3+2 \cos (\theta))^{2}} onde z=e^{i \theta}
Passo 1
O enunciado pede o cálculo de
usando a substituição complexa
. Vamos usar integração no contorno
e o teorema dos resíduos para avaliar essa integral.
Passo 2
Fazendo
temos
Logo
Então
e a integral vira
Passo 3
Identificamos o integrando
e precisamos dos polos de ordem 2 em
. As raízes são
Num módulo,
e
, então somente
está dentro do círculo unitário.
Passo 4
Para um polo de ordem 2 em
, a fórmula do resíduo é
Defina
então
Em
temos
e
, então
Passo 5
Pelo teorema dos resíduos,
Esse valor é exatamente a integral real que queremos.