Let f be a function of two variables that has continuous partial derivatives and consider the points A(1,3), B(3,3), C(1,7), and D(6,15). The directional derivative of f at A in the direction of the vector \overrightarrow{A B} is 3 and the directional derivative at A in the direction of \overrightarrow{A C} is 26 . Find the directional derivative of f at A in the direction of the vector \overrightarrow{A D}.

Passo 1

O enunciado dá uma função f(x,y) com derivadas parciais contínuas e os pontos
A(1,3),\;B(3,3),\;C(1,7),\;D(6,15)
e informa que a derivada direcional de f em A na direção de \overrightarrow{AB} vale 3 e na direção de \overrightarrow{AC} vale 26. Queremos a derivada direcional de f em A na direção de \overrightarrow{AD}. Lembrando que
D_{u}f(A)=\nabla f(A)\cdot u
onde u é o vetor unitário na direção desejada, vamos primeiro determinar \nabla f(A)=(f_x(A),f_y(A)).

Passo 2

Calcular \partial f/\partial x em A usando \overrightarrow{AB}.
\overrightarrow{AB}=(3-1,\;3-3)=(2,0),\qquad \|\overrightarrow{AB}\|=2,
logo o vetor unitário é
u_{AB}=\Bigl(\tfrac{2}{2},\tfrac{0}{2}\Bigr)=(1,0).
Pela definição da derivada direcional,
D_{u_{AB}}f(A)=\nabla f(A)\cdot(1,0)=f_x(A)=3.
Portanto
f_x(A)=3.

Passo 3

Calcular \partial f/\partial y em A usando \overrightarrow{AC}.
\overrightarrow{AC}=(1-1,\;7-3)=(0,4),\qquad \|\overrightarrow{AC}\|=4,
então
u_{AC}=\Bigl(\tfrac{0}{4},\tfrac{4}{4}\Bigr)=(0,1).
E
D_{u_{AC}}f(A)=\nabla f(A)\cdot(0,1)=f_y(A)=26.
Logo
f_y(A)=26.

Passo 4

Agora calculamos o vetor unitário na direção de \overrightarrow{AD}.
\overrightarrow{AD}=(6-1,\;15-3)=(5,12),\qquad \|\overrightarrow{AD}\|=\sqrt{5^2+12^2}=13,
portanto
u_{AD}=\Bigl(\tfrac{5}{13},\tfrac{12}{13}\Bigr).

Passo 5

Finalmente, a derivada direcional em A na direção de \overrightarrow{AD} é
D_{u_{AD}}f(A)=\nabla f(A)\cdot u_{AD} = (3,26)\cdot\Bigl(\tfrac{5}{13},\tfrac{12}{13}\Bigr) =\frac{3\cdot5 + 26\cdot12}{13} =\frac{15 + 312}{13} =\frac{327}{13}.

Resposta

A derivada direcional de f em A na direção de \overrightarrow{AD} é \displaystyle \frac{327}{13}.

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