Show that the operation of taking the gradient of a function has the given property. Assume that u and v are differentiable functions of x and y and that a, b are constants.
\nabla\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{v \nabla u-u \nabla v}{v^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dadas funções diferenciáveis u(x,y) e v(x,y) e constantes a,b, vale a regra do quociente para o gradiente:
\nabla\Bigl(\frac{u}{v}\Bigr) =\frac{v\,\nabla u - u\,\nabla v}{v^{2}}.
Vamos usar a definição de gradiente em coordenadas cartesianas e aplicar o quociente nas derivadas parciais.

Passo 2

Calculemos a derivada parcial de \frac{u}{v} em relação a x. Pela regra do quociente de uma variável, tratando y fixo:
\frac{\partial}{\partial x}\Bigl(\frac{u}{v}\Bigr) =\frac{v\;\frac{\partial u}{\partial x}-u\;\frac{\partial v}{\partial x}}{v^{2}}.

Passo 3

De forma análoga, a derivada parcial de \frac{u}{v} em relação a y é
\frac{\partial}{\partial y}\Bigl(\frac{u}{v}\Bigr) =\frac{v\;\frac{\partial u}{\partial y}-u\;\frac{\partial v}{\partial y}}{v^{2}}.

Passo 4

Juntando essas componentes no vetor gradiente, obtemos
\nabla\Bigl(\frac{u}{v}\Bigr) =\Bigl(\frac{\partial}{\partial x}\bigl(\tfrac{u}{v}\bigr),\, \frac{\partial}{\partial y}\bigl(\tfrac{u}{v}\bigr)\Bigr) =\Bigl(\frac{v\,u_x - u\,v_x}{v^2},\,\frac{v\,u_y - u\,v_y}{v^2}\Bigr) =\frac{v\,\nabla u - u\,\nabla v}{v^2}.

Resposta

\nabla\Bigl(\frac{u}{v}\Bigr) =\frac{v\,\nabla u - u\,\nabla v}{v^{2}}.

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