Show that the operation of taking the gradient of a function has the given property. Assume that
and
are differentiable functions of
and
and that
are constants.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dadas funções diferenciáveis
e
e constantes
, vale a regra do quociente para o gradiente:
Vamos usar a definição de gradiente em coordenadas cartesianas e aplicar o quociente nas derivadas parciais.
Passo 2
Calculemos a derivada parcial de
em relação a
. Pela regra do quociente de uma variável, tratando
fixo:
Passo 3
De forma análoga, a derivada parcial de
em relação a
é
Passo 4
Juntando essas componentes no vetor gradiente, obtemos