Calcule
\int_{0}^{\pi / 4} \frac{e^{\operatorname{tg}(x)}}{\cos ^{2}(x)} d x

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a integral
\int_{0}^{\pi/4} \frac{e^{\operatorname{tg}(x)}}{\cos^{2}(x)}\,dx.
Informações dadas que vamos usar (apenas listar):
  • O integrando é \displaystyle \frac{e^{\operatorname{tg}(x)}}{\cos^{2}(x)}.
  • Os limites de integração são x=0 e x=\pi/4.
  • É visível a presença de \cos^{2}(x) no denominador, que lembra a derivada de alguma função trigonométrica (anotação: \operatorname{tg}(x) é o mesmo que \tan x).

Passo 2

Observação chave (aula curtinha sobre derivadas e regra da cadeia): a derivada da função \tan x é
\frac{d}{dx}\tan x = \operatorname{sec}^{2}x = \frac{1}{\cos^{2}x}.
Explicando a regra da cadeia aplicada à exponencial: se você tem F(x)=e^{\tan x}, então pela regra da cadeia
F'(x)=e^{\tan x}\cdot\frac{d}{dx}(\tan x)=e^{\tan x}\cdot\frac{1}{\cos^{2}x}=\frac{e^{\tan x}}{\cos^{2}x}.
Ou seja, o integrando é exatamente a derivada de e^{\tan x}. Isso é ótimo porque transforma o problema numa aplicação direta do Teorema Fundamental do Cálculo.

Passo 3

Uso do Teorema Fundamental do Cálculo (explicando por que isso vale): se F'(x)=f(x) em um intervalo e f é integrável, então
\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b)-F(a).
Aqui encontramos F(x)=e^{\tan x} com F'(x)=\dfrac{e^{\tan x}}{\cos^{2}x}. Portanto
\int_{0}^{\pi/4} \frac{e^{\tan x}}{\cos^{2}x}\,dx = e^{\tan x}\Big|_{0}^{\pi/4}.

Passo 4

Avaliação nos limites (explicando cada valor): calcule \tan(\pi/4) e \tan(0):
\tan\Big(\frac{\pi}{4}\Big)=1,\qquad \tan(0)=0.
Logo
e^{\tan x}\Big|_{0}^{\pi/4}=e^{\tan(\pi/4)}-e^{\tan(0)}=e^{1}-e^{0}=e-1,
pois e^{0}=1.

Passo 5

Alternativa didática (u-substituição) — para fixar a técnica: faça a substituição \displaystyle u=\tan x. Então
du=\frac{1}{\cos^{2}x}\,dx
e os limites mudam para u(0)=0 e u(\pi/4)=1. A integral fica
\int_{0}^{\pi/4}\frac{e^{\tan x}}{\cos^{2}x}\,dx=\int_{0}^{1} e^{u}\,du = e^{u}\Big|_{0}^{1}=e-1.
Isto reafirma o resultado e mostra como aplicar a substituição passo a passo na prova.

Passo 6

Observação final e dica para a prova: sempre que você vir uma função composta g(h(x)) multiplicada por h'(x) (aqui g=e^{(\cdot)} e h=\tan x), vale checar se o integrando é a derivada de g(h(x)). Isso muitas vezes transforma a integral definida numa simples avaliação de primitiva nos limites.

Resposta

e-1

Exercícios relacionados