O integrando é \displaystyle \frac{e^{\operatorname{tg}(x)}}{\cos^{2}(x)}.
Os limites de integração são x=0 e x=\pi/4.
É visível a presença de \cos^{2}(x) no denominador, que lembra a derivada de alguma função trigonométrica (anotação: \operatorname{tg}(x) é o mesmo que \tan x).
Passo 2
Observação chave (aula curtinha sobre derivadas e regra da cadeia): a derivada da função \tan x é
\frac{d}{dx}\tan x = \operatorname{sec}^{2}x = \frac{1}{\cos^{2}x}.
Explicando a regra da cadeia aplicada à exponencial: se você tem F(x)=e^{\tan x}, então pela regra da cadeia
Ou seja, o integrando é exatamente a derivada de e^{\tan x}. Isso é ótimo porque transforma o problema numa aplicação direta do Teorema Fundamental do Cálculo.
Passo 3
Uso do Teorema Fundamental do Cálculo (explicando por que isso vale): se F'(x)=f(x) em um intervalo e f é integrável, então
\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b)-F(a).
Aqui encontramos F(x)=e^{\tan x} com F'(x)=\dfrac{e^{\tan x}}{\cos^{2}x}. Portanto
Isto reafirma o resultado e mostra como aplicar a substituição passo a passo na prova.
Passo 6
Observação final e dica para a prova: sempre que você vir uma função composta g(h(x)) multiplicada por h'(x) (aqui g=e^{(\cdot)} e h=\tan x), vale checar se o integrando é a derivada de g(h(x)). Isso muitas vezes transforma a integral definida numa simples avaliação de primitiva nos limites.