Determine, caso existam, os máximos e mínimos absolutos ou relativos das funções abaixo:
f(x)=\ln x-x

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=\ln x - x
definida para x>0 e pede que a gente encontre todos os extremos (máximos ou mínimos, relativos e/ou absolutos). Para isso vamos usar derivadas: primeiro achamos os pontos críticos com f'(x)=0 e depois classificamos com o sinal de f'(x) ou com f''(x).

Passo 2

Calculamos a derivada de f. Lembrando que \tfrac{d}{dx}(\ln x)=\tfrac1x e \tfrac{d}{dx}(x)=1, temos
f'(x)=\frac1x - 1.

Passo 3

Para achar os pontos críticos, resolvemos
f'(x)=0 \quad\Longrightarrow\quad \frac1x - 1 = 0 \quad\Longrightarrow\quad \frac1x = 1 \quad\Longrightarrow\quad x=1.

Passo 4

Agora classificar esse ponto. Calculamos a segunda derivada:
f''(x)=-\frac1{x^2}.
Em x=1 isso dá
f''(1)=-1<0,
o que indica que x=1 é um ponto de máximo relativo.

Passo 5

Para ver se é máximo absoluto, analisamos o comportamento de f nas bordas do domínio:
– Quando x\to0^+, \ln x\to -\infty e -x\to0, logo f(x)\to -\infty.
– Quando x\to+\infty, \ln x cresce mais devagar que x, então \ln x - x\to -\infty.
Portanto, não há valor de f menor (nem maior) além de -\infty, e o único pico é em x=1.
Valor em x=1:
f(1)=\ln1 - 1 = 0 - 1 = -1.
Logo esse é também o máximo absoluto. Não existem mínimos (nem relativos nem absolutos), pois f(x) tende a -\infty nas extremidades.

Resposta

O único extremo é um máximo absoluto (e relativo) em x=1, com valor f(1)=-1. Não há mínimos.

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