Determine, caso existam, os máximos e mínimos absolutos ou relativos das funções abaixo:
Passo 1
O enunciado nos dá a função
definida para
e pede que a gente encontre todos os extremos (máximos ou mínimos, relativos e/ou absolutos). Para isso vamos usar derivadas: primeiro achamos os pontos críticos com
e depois classificamos com o sinal de
ou com
.
Passo 2
Calculamos a derivada de
. Lembrando que
e
, temos
Passo 3
Para achar os pontos críticos, resolvemos
Passo 4
Agora classificar esse ponto. Calculamos a segunda derivada:
Em
isso dá
o que indica que
é um ponto de máximo relativo.
Passo 5
Para ver se é máximo absoluto, analisamos o comportamento de
nas bordas do domínio:
– Quando ,
e
, logo
.
– Quando ,
cresce mais devagar que
, então
.
Portanto, não há valor de menor (nem maior) além de
, e o único pico é em
.
Valor em :
– Quando
– Quando
Portanto, não há valor de
Valor em
Logo esse é também o máximo absoluto. Não existem mínimos (nem relativos nem absolutos), pois
tende a
nas extremidades.
Resposta
O único extremo é um máximo absoluto (e relativo) em
, com valor
. Não há mínimos.