Calcule \int_{0}^{2} x^{2} d x usando a regra de Simpson com m=4 subintervalos.

Passo 1

Resumindo: precisamos aproximar a integral
\int_{0}^{2}x^{2}\,dx
usando a regra de Simpson composta com m=4 subintervalos. Isso envolve dividir o intervalo em partes iguais, calcular os valores de f(x)=x^2 nos nós e aplicar a fórmula de Simpson.

Passo 2

Calcular o tamanho de cada subintervalo:
h = \frac{2 - 0}{4} = 0,5.

Passo 3

Determinar os nós x_i = 0 + i\,h para i=0,1,2,3,4:
x_0=0,\quad x_1=0,5,\quad x_2=1,\quad x_3=1,5,\quad x_4=2.

Passo 4

Avaliar a função em cada nó:
f(x_i)=x_i^2\quad\Rightarrow\quad f(x_0)=0,\;f(x_1)=0,25,\;f(x_2)=1,\;f(x_3)=2,25,\;f(x_4)=4.

Passo 5

Aplicar a regra de Simpson composta:
\int_{0}^{2}x^{2}\,dx \approx \frac{h}{3}\bigl[f(x_0)+4f(x_1)+2f(x_2)+4f(x_3)+f(x_4)\bigr].
Substituindo:
\frac{0,5}{3}\bigl[0 + 4\cdot0,25 + 2\cdot1 + 4\cdot2,25 + 4\bigr] = \frac{0,5}{3}\bigl[1 + 2 + 9 + 4\bigr] = \frac{0,5\cdot16}{3} = \frac{8}{3}.

Resposta

\frac{8}{3}.

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