O enunciado pede para calcular a integral de contorno
\oint_{C} \frac{dz}{z^{2}+1},
onde C é o círculo de centro \,i e raio \frac{3}{2}, isto é C:\;|z-i|=\frac{3}{2}.
Informações dadas e perguntas explícitas:
Integrando-se a função \displaystyle \frac{1}{z^{2}+1} ao longo da curva C.
A curva C é fechada (um círculo) com centro em z=i e raio \frac{3}{2}.
Precisamos encontrar o valor numérico da integral de contorno.
Passo 2
Identificar os pontos singulares (polos) da função integranda. Resolvemos z^{2}+1=0:
z^{2}+1=0 \implies z=\pm i.
Logo, os polos são \,i e -i.
Passo 3
Determinar quais polos estão dentro do círculo C. O círculo tem centro \,i e raio \frac{3}{2}.
Distância do centro i até o polo i: |i-i|=0. Logo i está dentro de C (é o próprio centro).
Distância do centro i até o polo -i: |i-(-i)|=|2i|=2. Como 2>\tfrac{3}{2}, o polo -i está fora de C.
Portanto, apenas o polo z=i está dentro da curva C.
Passo 4
Explicar qual ferramenta vamos usar e por quê. Para integrar uma função meromorfa em volta de uma curva fechada que envolve polos isolados, usamos o Teorema dos Resíduos (não vou nomear a matéria, mas a ideia é simples): a integral vale 2\pi i vezes a soma das residuais dos polos interiores. Escrevendo isso:
\oint_{C} \frac{dz}{z^{2}+1} = 2\pi i \sum_{\text{polos dentro de }C} \operatorname{Res}\!\left(\frac{1}{z^{2}+1},\; \text{polo}\right).
Como só z=i está dentro, precisamos apenas calcular \operatorname{Res}\!\left(\frac{1}{z^{2}+1},i\right).
Passo 5
Calcular a resíduo em z=i. Observação: z=i é um polo simples porque z^{2}+1=(z-i)(z+i) e o fator (z-i) aparece apenas uma vez. Para um polo simples em a, a resíduo de \frac{1}{(z-a)h(z)} é 1/h(a). Aqui fazemos explícito:
Se quiser ver de outro jeito: também vale a fórmula para polo simples \operatorname{Res}=\frac{1}{(d/dz)(z^{2}+1)\big|_{z=i}}=\frac{1}{2z\big|_{z=i}}=\frac{1}{2i}, que dá o mesmo resultado.
Passo 6
Aplicar o Teorema dos Resíduos e simplificar a expressão: