Calcule:
\oint_{C} \frac{d z}{z^{2}+1}, C:|z-i|=\frac{3}{2}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de contorno
\oint_{C} \frac{dz}{z^{2}+1},
onde C é o círculo de centro \,i e raio \frac{3}{2}, isto é C:\;|z-i|=\frac{3}{2}.
Informações dadas e perguntas explícitas:
  • Integrando-se a função \displaystyle \frac{1}{z^{2}+1} ao longo da curva C.
  • A curva C é fechada (um círculo) com centro em z=i e raio \frac{3}{2}.
  • Precisamos encontrar o valor numérico da integral de contorno.

Passo 2

Identificar os pontos singulares (polos) da função integranda. Resolvemos z^{2}+1=0:
z^{2}+1=0 \implies z=\pm i.
Logo, os polos são \,i e -i.

Passo 3

Determinar quais polos estão dentro do círculo C. O círculo tem centro \,i e raio \frac{3}{2}.
  • Distância do centro i até o polo i: |i-i|=0. Logo i está dentro de C (é o próprio centro).
  • Distância do centro i até o polo -i: |i-(-i)|=|2i|=2. Como 2>\tfrac{3}{2}, o polo -i está fora de C.
    Portanto, apenas o polo z=i está dentro da curva C.

Passo 4

Explicar qual ferramenta vamos usar e por quê. Para integrar uma função meromorfa em volta de uma curva fechada que envolve polos isolados, usamos o Teorema dos Resíduos (não vou nomear a matéria, mas a ideia é simples): a integral vale 2\pi i vezes a soma das residuais dos polos interiores. Escrevendo isso:
\oint_{C} \frac{dz}{z^{2}+1} = 2\pi i \sum_{\text{polos dentro de }C} \operatorname{Res}\!\left(\frac{1}{z^{2}+1},\; \text{polo}\right).
Como só z=i está dentro, precisamos apenas calcular \operatorname{Res}\!\left(\frac{1}{z^{2}+1},i\right).

Passo 5

Calcular a resíduo em z=i. Observação: z=i é um polo simples porque z^{2}+1=(z-i)(z+i) e o fator (z-i) aparece apenas uma vez. Para um polo simples em a, a resíduo de \frac{1}{(z-a)h(z)} é 1/h(a). Aqui fazemos explícito:
\frac{1}{z^{2}+1}=\frac{1}{(z-i)(z+i)}.
O resíduo em z=i é
\operatorname{Res}\!\left(\frac{1}{z^{2}+1},i\right)=\lim_{z\to i} (z-i)\frac{1}{(z-i)(z+i)}=\lim_{z\to i}\frac{1}{z+i}=\frac{1}{i+i}=\frac{1}{2i}.
Se quiser ver de outro jeito: também vale a fórmula para polo simples \operatorname{Res}=\frac{1}{(d/dz)(z^{2}+1)\big|_{z=i}}=\frac{1}{2z\big|_{z=i}}=\frac{1}{2i}, que dá o mesmo resultado.

Passo 6

Aplicar o Teorema dos Resíduos e simplificar a expressão:
\oint_{C} \frac{dz}{z^{2}+1}=2\pi i\cdot \operatorname{Res}\!\left(\frac{1}{z^{2}+1},i\right)=2\pi i\cdot\frac{1}{2i}.
Agora simplificamos a fração:
2\pi i\cdot\frac{1}{2i}=\frac{2\pi i}{2i}=\pi.
A cancelamento de 2i no numerador e denominador deixa apenas \pi.

Resposta

\pi

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