Calcule as integrais usando integração por partes.
\int x^{2} \ln x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int x^{2}\ln x \,dx
usando o método de integração por partes.
Para isso, vamos usar a fórmula
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du,
escolhendo apropriadamente u e dv.

Passo 2

Escolhemos
u = \ln x \quad\text{e}\quad dv = x^{2}\,dx,
porque a derivada de \ln x simplifica a integral, e integrar x^{2} é direto.

Passo 3

Calculamos du e v:
du = \frac{d}{dx}(\ln x)\,dx = \frac{1}{x}\,dx,
v = \int x^{2}\,dx = \frac{x^{3}}{3}.

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
\int x^{2}\ln x\,dx = u\,v - \int v\,du = \ln x \cdot \frac{x^{3}}{3} \;-\;\int \frac{x^{3}}{3}\cdot\frac{1}{x}\,dx.
Simplificando a integral restante:
\int \frac{x^{3}}{3}\cdot\frac{1}{x}\,dx = \frac{1}{3}\int x^{2}\,dx = \frac{1}{3}\cdot\frac{x^{3}}{3} = \frac{x^{3}}{9}.
Logo,
\int x^{2}\ln x\,dx = \frac{x^{3}}{3}\ln x \;-\;\frac{x^{3}}{9} + C.

Resposta

\int x^{2}\ln x\,dx = \frac{x^{3}}{3}\ln x - \frac{x^{3}}{9} + C.

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