Determinie a derivada direcional de f no ponto dado na direção indicada:
f(x, y)=2 \sqrt{x}-y^{2},(1,5), na direção do ponto (4,1)

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional de
f(x, y) = 2\sqrt{x} - y^{2}
no ponto (1,5) na direção do ponto (4,1).
Para isso, vamos usar que a derivada direcional em direção a um vetor unitário \mathbf{u} é
D_{\mathbf{u}}f(P) = \nabla f(P)\cdot \mathbf{u},
então precisamos (1) obter o vetor direção de (1,5) a (4,1), (2) torná-lo unitário, (3) calcular o gradiente de f e (4) avaliar o produto escalar.

Passo 2

O vetor direção \mathbf{v} de P=(1,5) até Q=(4,1) é
\mathbf{v} = Q - P = (4-1,\;1-5) = (3,\,-4).
A norma de \mathbf{v} é
\|\mathbf{v}\| = \sqrt{3^{2} + (-4)^{2}} = \sqrt{9 + 16} = 5.
Portanto o vetor unitário é
\mathbf{u} = \frac{\mathbf{v}}{\|\mathbf{v}\|} = \Bigl(\tfrac{3}{5},\, -\tfrac{4}{5}\Bigr).

Passo 3

Calcular o gradiente de f. Usando derivada de \sqrt{x} e de y^{2}:
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) = 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{\sqrt{x}}, \quad \frac{\partial f}{\partial y}(x,y) = -2y.
Logo
\nabla f(x,y) = \Bigl(\tfrac{1}{\sqrt{x}},\,-2y\Bigr).

Passo 4

Avaliar o gradiente em (1,5):
\nabla f(1,5) = \Bigl(\tfrac{1}{\sqrt{1}},\,-2\cdot 5\Bigr) = (1,\,-10).

Passo 5

Agora a derivada direcional é
D_{\mathbf{u}}f(1,5) = \nabla f(1,5)\cdot \mathbf{u} = (1,\,-10)\cdot \Bigl(\tfrac{3}{5},\,-\tfrac{4}{5}\Bigr) = 1\cdot \tfrac{3}{5} + (-10)\cdot\bigl(-\tfrac{4}{5}\bigr) = \tfrac{3}{5} + \tfrac{40}{5} = \tfrac{43}{5}.

Resposta

\boxed{\frac{43}{5}}

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