Calcule:
\int_{0}^{5} \sqrt{25-x^{2}} d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int_{0}^{5} \sqrt{25 - x^{2}}\,dx.
Esse tipo de integral aparece quando queremos a área sob o quarto de círculo de raio 5. Podemos resolver por substituição trigonométrica ou pela fórmula de área. Aqui vamos usar a substituição trigonométrica.

Passo 2

Fazemos a substituição
x = 5\sin\theta, \quad dx = 5\cos\theta\,d\theta,
e observamos que
\sqrt{25 - x^{2}} = \sqrt{25 - 25\sin^{2}\theta} = 5\cos\theta.
Os limites também mudam: se x=0 então \theta=0; se x=5 então \theta=\tfrac{\pi}{2}.

Passo 3

Substituindo tudo na integral, obtemos
\int_{0}^{5} \sqrt{25 - x^{2}}\,dx = \int_{0}^{\pi/2} \bigl(5\cos\theta\bigr)\bigl(5\cos\theta\,d\theta\bigr) = 25 \int_{0}^{\pi/2} \cos^{2}\theta\,d\theta.
Usamos a identidade
\cos^{2}\theta = \frac{1 + \cos(2\theta)}{2}.

Passo 4

Então
25 \int_{0}^{\pi/2} \cos^{2}\theta\,d\theta = 25 \int_{0}^{\pi/2} \frac{1 + \cos(2\theta)}{2}\,d\theta = \frac{25}{2}\Bigl[\theta + \tfrac{\sin(2\theta)}{2}\Bigr]_{0}^{\pi/2} = \frac{25}{2}\cdot\frac{\pi}{2} = \frac{25\pi}{4}.

Resposta

\frac{25\pi}{4}

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