Considere a EDO de
ordem
(a) Encontre a solução,
, da equação homogênea associada.
(b) Encontre uma solução particular,
para a equação não homogênea.
(c) Resolva o PVI com as condições iniciais:
e
.
(b) Encontre uma solução particular,
(c) Resolva o PVI com as condições iniciais:
Passo 1
O enunciado nos dá a EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes
e pede: (a) a solução geral da equação homogênea associada, (b) uma solução particular da não homogênea por coeficientes a determinar, e (c) resolver o PVI com
e
.
Passo 2
Para encontrar a solução homogênea, montamos a equação característica
Resolvendo em
, obtemos
Logo a solução geral da homogênea é
Passo 3
Para achar uma solução particular
do tipo coeficientes a determinar, notamos que o lado direito é
e que
já aparece na homogênea (multiplicidade 1). Então tentamos
Calculamos
mas de forma sistemática ao substituir em
achamos que os termos se reduzem a
o que dá
e
. Assim
Passo 4
A solução geral da não homogênea é
Impondo as condições iniciais:
dá
e
dá, usando
,
Resolvendo o sistema
obtemos
Resposta
(a)
(b)
(c) A solução do PVI é
(b)
(c) A solução do PVI é