Considere a EDO de 2^{a} ordem
y^{\prime \prime}+y^{\prime}-2 y=(3 t-5) e^{t}
(a) Encontre a solução, y_{h}(t), da equação homogênea associada.
(b) Encontre uma solução particular, y_{p}(t) para a equação não homogênea.
(c) Resolva o PVI com as condições iniciais: y(0)=2 e y^{\prime}(0)=-1.

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + y' - 2y = (3t - 5)e^t,
e pede: (a) a solução geral da equação homogênea associada, (b) uma solução particular da não homogênea por coeficientes a determinar, e (c) resolver o PVI com y(0)=2 e y'(0)=-1.

Passo 2

Para encontrar a solução homogênea, montamos a equação característica
r^2 + r - 2 = 0.
Resolvendo em r, obtemos
r = 1 \quad\text{ou}\quad r = -2.
Logo a solução geral da homogênea é
y_h(t) = C_1 e^t + C_2 e^{-2t}.

Passo 3

Para achar uma solução particular y_p do tipo coeficientes a determinar, notamos que o lado direito é (3t-5)e^t e que e^t já aparece na homogênea (multiplicidade 1). Então tentamos
y_p(t) = e^t\bigl(a t^2 + b t\bigr).
Calculamos
y_p' = \bigl(\tfrac12t^2 - t -2\bigr)e^t \quad\text{e}\quad y_p'' = \bigl(\tfrac12t^2 + ( -2+2\tfrac12 )t + (2(-2)+2\tfrac12)\bigr)e^t = \bigl(\tfrac12t^2 +4\tfrac12-2\bigr)e^t,
mas de forma sistemática ao substituir em y''+y'-2y achamos que os termos se reduzem a
[6a\,t + (3b+2a)]e^t = (3t-5)e^t,
o que dá 6a=3\implies a=\tfrac12 e 3b+2a=-5\implies b=-2. Assim
y_p(t) = e^t\Bigl(\tfrac12t^2 -2t\Bigr).

Passo 4

A solução geral da não homogênea é
y(t) = y_h(t) + y_p(t) = C_1e^t + C_2e^{-2t} + e^t\Bigl(\tfrac12t^2 -2t\Bigr).
Impondo as condições iniciais:
y(0)=2
C_1 + C_2 = 2,
e
y'(0)=-1 dá, usando y'(t)=C_1e^t -2C_2e^{-2t} +[(\tfrac12t^2 -t -2)e^t],
C_1 -2C_2 -2 = -1 \;\Longrightarrow\; C_1 -2C_2 = 1.
Resolvendo o sistema \{C_1+C_2=2,\;C_1-2C_2=1\} obtemos
C_2 = \tfrac13, \quad C_1 = \tfrac53.

Resposta

(a) y_h(t) = C_1e^t + C_2e^{-2t}.
(b) y_p(t) = e^t\bigl(\tfrac12t^2 - 2t\bigr).
(c) A solução do PVI é
y(t) = \frac{5}{3}e^t + \frac{1}{3}e^{-2t} + e^t\Bigl(\tfrac12t^2 -2t\Bigr).

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