2 Calcule
\int_{S} \frac{1}{\sqrt{1+4 x^{2}+4 y^{2}}} d S, onde S é a parte da superfície
z=1-x^{2}-y^{2} que se encontra dentro do cilindro de equação
x^{2}+y^{2}=2 y.
Resp. \pi.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\iint_{S}\frac{1}{\sqrt{1+4x^{2}+4y^{2}}}\,dS
onde S é a parte da superfície
z=1-x^{2}-y^{2}
contida no cilindro
x^{2}+y^{2}=2y.
O conteúdo aqui é integral de superfície de função escalar, usando a fórmula de gráfico z=f(x,y).

Passo 2

Como S é o gráfico de f(x,y)=1-x^{2}-y^{2}, vale
dS=\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}\,dA.
Calculando as derivadas parciais:
f_x=-2x, \quad f_y=-2y,
então
\sqrt{1+f_x^2+f_y^2} =\sqrt{1+4x^2+4y^2}.
Dessa forma o integrando fica
\frac{1}{\sqrt{1+4x^{2}+4y^{2}}}\, \sqrt{1+4x^{2}+4y^{2}} =1,
e a integral sobre S reduz-se a
\iint_{R}1\,dA.

Passo 3

A projeção R de S no plano xy é dada por
x^{2}+y^{2}\le2y \;\Longleftrightarrow\; x^{2}+(y-1)^{2}\le1,
ou seja, um disco de raio 1. Portanto
\iint_{R}1\,dA =\pi\cdot1^{2} =\pi.

Resposta

\pi

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