Find the directional derivative of f at the given point in the direction indicated by the angle \theta.
f(x, y)=x \sin (x y), \quad(2,0), \quad \theta=\pi / 3

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional de
f(x,y)=x\sin(xy)
no ponto (2,0) na direção do ângulo \theta=\pi/3.
O conteúdo principal é usar o gradiente de f e o vetor unitário na direção dada para calcular
D_{\mathbf u}f(2,0)=\nabla f(2,0)\cdot\mathbf u.

Passo 2

Primeiro, vamos obter o gradiente de f, ou seja, as derivadas parciais.
Para \partial f/\partial x usamos regra do produto e cadeia:
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) =\sin(xy)+x\cdot\cos(xy)\cdot y =\sin(xy)+xy\cos(xy).
Para \partial f/\partial y tratamos x como constante:
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y) =x\cdot\cos(xy)\cdot x =x^2\cos(xy).

Passo 3

Agora avaliamos o gradiente no ponto (2,0). Como xy=2\cdot0=0, temos \sin(0)=0 e \cos(0)=1.
\frac{\partial f}{\partial x}(2,0) =0 + 2\cdot0\cdot1 =0, \quad \frac{\partial f}{\partial y}(2,0) =2^2\cdot1 =4.
Logo
\nabla f(2,0) = (0,\,4).

Passo 4

O vetor unitário na direção de \theta=\pi/3 é
\mathbf u = (\cos\theta,\,\sin\theta) =\bigl(\tfrac12,\;\tfrac{\sqrt3}{2}\bigr).

Passo 5

A derivada direcional é o produto escalar de \nabla f(2,0) por \mathbf u:
D_{\mathbf u}f(2,0) =(0,4)\cdot\Bigl(\tfrac12,\tfrac{\sqrt3}{2}\Bigr) =0\cdot\tfrac12 + 4\cdot\tfrac{\sqrt3}{2} =2\sqrt3.

Resposta

A derivada direcional de f em (2,0) na direção \theta=\pi/3 é 2\sqrt3.

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