Calcule as integrais nos exercícios 9-26. Verifique suas respostas diferenciando.
\int\left(3 t^{2}+\frac{t}{2}\right) d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a primitiva da função f(t)=3t^{2}+\tfrac{t}{2} em relação a t e, em seguida, verificar o resultado diferenciando. Vamos usar a regra de potência para integrar polinômios:
\int t^{n}\,dt = \frac{t^{n+1}}{n+1} + C.

Passo 2

Separamos a integral em duas parcelas:
\int\bigl(3t^{2}+\tfrac{t}{2}\bigr)\,dt = \int 3t^{2}\,dt + \int \tfrac{t}{2}\,dt.
Para a primeira,
\int 3t^{2}\,dt = 3 \cdot \frac{t^{3}}{3} = t^{3}.
Para a segunda,
\int \tfrac{t}{2}\,dt = \tfrac{1}{2}\int t\,dt = \tfrac{1}{2}\cdot\frac{t^{2}}{2} = \frac{t^{2}}{4}.
Logo, a primitiva é
t^{3} + \frac{t^{2}}{4} + C.

Passo 3

Para verificar, derivamos F(t)=t^{3}+\tfrac{t^{2}}{4}+C:
F'(t) = 3t^{2} + \frac{2t}{4} + 0 = 3t^{2} + \frac{t}{2},
que coincide com o integrando original.

Resposta

\int\bigl(3t^{2}+\tfrac{t}{2}\bigr)\,dt = t^{3} + \frac{t^{2}}{4} + C.

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