Calcule as integrais dos exercícios 1-36 usando uma substituição para reduzi-las à forma-padrão.
\int \frac{3 \cos x d x}{\sqrt{1+3 \operatorname{sen} x}}

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
\int \frac{3\cos x\,dx}{\sqrt{1+3\sin x}}
Usaremos o método de substituição para reduzir à forma-padrão \int u^{-1/2}du.

Passo 2

Escolhemos a substituição
u = 1 + 3\sin x,
de modo que
du = 3\cos x\,dx.

Passo 3

Em função de u, a integral fica
\int \frac{3\cos x\,dx}{\sqrt{1+3\sin x}} = \int \frac{du}{\sqrt{u}} = \int u^{-1/2} \,du.

Passo 4

Integramos a forma-padrão:
\int u^{-1/2}\,du = \frac{u^{1/2}}{\tfrac12} + C = 2\,u^{1/2} + C.

Passo 5

Voltando à variável original ( u = 1 + 3\sin x), obtemos
2\sqrt{1+3\sin x} + C.

Resposta

2\sqrt{1+3\sin x} + C

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