Find the directional derivative of f at the given point in the direction indicated by the angle \theta.
f(x, y)=x^{2} y^{3}-y^{4}, \quad(2,1), \quad \theta=\pi / 4

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional de
f(x,y)=x^{2}y^{3}-y^{4}
no ponto (2,1) na direção do ângulo \theta=\pi/4.
Para isso usaremos a fórmula
D_{\mathbf{u}}f(2,1)=\nabla f(2,1)\cdot\mathbf{u},
onde \mathbf{u} é o vetor unitário que forma ângulo \theta com o eixo x.

Passo 2

Calcular o gradiente \nabla f=(f_x,f_y).
Derivando em relação a x:
f_x=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^2y^3-y^4\bigr)=2x\,y^3.
Derivando em relação a y:
f_y=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^2y^3-y^4\bigr)=3x^2y^2-4y^3.

Passo 3

Avaliar o gradiente em (2,1):
f_x(2,1)=2\cdot2\cdot1^3=4, \quad f_y(2,1)=3\cdot2^2\cdot1^2-4\cdot1^3=12-4=8.
Logo
\displaystyle \nabla f(2,1) = (4,\,8).

Passo 4

O vetor unitário na direção \theta=\pi/4 é
\mathbf{u} = (\cos\theta,\sin\theta) = \Bigl(\frac{\sqrt{2}}{2},\,\frac{\sqrt{2}}{2}\Bigr).

Passo 5

A derivada direcional é o produto escalar
D_{\mathbf{u}}f(2,1) = (4,8)\cdot\Bigl(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\Bigr) =4\frac{\sqrt{2}}{2}+8\frac{\sqrt{2}}{2} =\frac{12\sqrt{2}}{2} =6\sqrt{2}.

Resposta

6\sqrt{2}

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