Nos problemas 1-18, resolva a equação diferencial dada.
x y^{(4)}+6 y^{\prime \prime \prime}=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de quarta ordem
x\,y^{(4)}+6\,y^{(3)}=0.
Como só aparece até y^{(4)} e sem termos em y, y' ou y'', vamos fazer a redução de ordem definindo
u(x)=y^{(3)}(x),
para transformar em uma equação de primeira ordem em u.

Passo 2

Substituindo u=y^{(3)} e u'=y^{(4)} na equação original, obtemos
x\,u' + 6\,u = 0.
Isto é uma EDO linear de primeira ordem (ou separável) em u.

Passo 3

Podemos escrever como separável:
\frac{u'}{u} = -\frac{6}{x}.
Integrando em x:
\ln|u| = -6\ln|x| + C_1 \qquad\Longrightarrow\qquad u = y^{(3)} = C_1\,x^{-6}.

Passo 4

Agora integramos para recuperar y. Primeiro,
y'' = \int y^{(3)}\,dx = \int C_1 x^{-6}\,dx = -\frac{C_1}{5}\,x^{-5} + C_2.

Passo 5

Integramos novamente:
y' = \int y''\,dx = \int\Bigl(-\tfrac{C_1}{5}x^{-5}+C_2\Bigr)dx = \frac{C_1}{20}\,x^{-4} + C_2\,x + C_3.

Passo 6

E integramos pela última vez:
y = \int y'\,dx = \int\Bigl(\frac{C_1}{20}x^{-4}+C_2x+C_3\Bigr)dx = -\frac{C_1}{60}\,x^{-3} + \frac{C_2}{2}\,x^2 + C_3\,x + C_4.

Passo 7

Renomeando as constantes para ficar mais compacto, seja
A=-\tfrac{C_1}{60},\quad B=\tfrac{C_2}{2},\quad C=C_3,\quad D=C_4.
Então a solução geral é
y(x)=A\,x^{-3}+B\,x^2+C\,x+D.

Resposta

y(x)=C_1\,x^{-3}+C_2\,x^2+C_3\,x+C_4.

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