Use o teorema fundamental da integral de linha e calcule \int_{\gamma} \vec{F} \cdot d \vec{r} onde \vec{F}=\left(3 x^{2} y^{3}, 3 x^{3} y^{2}\right) e \gamma é a curva dada por y=e^{x} e indo de (0,1) à (1, e).

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha
\int_{\gamma}\vec{F}\cdot d\vec{r}
onde \vec{F}=(3x^{2}y^{3},\,3x^{3}y^{2}) e \gamma é a curva y=e^{x} de (0,1) a (1,e).
O conteúdo aqui é o Teorema Fundamental para integrais de linha em campos conservativos: se \vec{F}=\nabla f, então
\int_{\gamma}\vec{F}\cdot d\vec{r}=f\bigl(\text{ponto final}\bigr)-f\bigl(\text{ponto inicial}\bigr).
Precisamos então (1) checar que \vec{F} é conservativo e (2) encontrar sua função potencial f(x,y).

Passo 2

Verificamos conservação calculando
\frac{\partial P}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(3x^{2}y^{3}\bigr) =9x^{2}y^{2}, \qquad \frac{\partial Q}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(3x^{3}y^{2}\bigr) =9x^{2}y^{2}.
Como \partial P/\partial y=\partial Q/\partial x, \vec{F} é conservativo.
Para achar f, integramos P em x:
f(x,y)=\int 3x^{2}y^{3}\,dx =x^{3}y^{3}+h(y).
Derivando em y e igualando a Q temos
\frac{\partial f}{\partial y} =3x^{3}y^{2}+h'(y) \stackrel{!}{=}3x^{3}y^{2} \;\Longrightarrow\;h'(y)=0,
logo h é constante e podemos tomar
f(x,y)=x^{3}y^{3}.

Passo 3

Pelo Teorema Fundamental,
\int_{\gamma}\vec{F}\cdot d\vec{r} =f\bigl(1,e\bigr)-f\bigl(0,1\bigr) =(1)^{3}(e)^{3}-(0)^{3}(1)^{3} =e^{3}.

Resposta

e^{3}

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