Calcule:
\int \sin 2 x \sin x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \sin2x\;\sin x\;dx.
O conteúdo principal aqui é usar identidades trigonométricas para simplificar o produto e depois aplicar integração por substituição.

Passo 2

Usamos a identidade
\sin2x = 2\sin x\cos x,
logo o integrando fica
\sin2x\;\sin x = 2\sin x\cos x\;\sin x = 2\sin^2 x\cos x.

Passo 3

Fazemos a substituição
u = \sin x, \quad du = \cos x\,dx.
Assim
\int 2\sin^2 x\cos x\,dx = \int 2u^2\,du = 2\;\frac{u^3}{3} + C = \frac{2}{3}u^3 + C.

Passo 4

Voltando a variável x, temos
\frac{2}{3}u^3 + C = \frac{2}{3}\sin^3 x + C.

Resposta

\int \sin2x\;\sin x\,dx = \frac{2}{3}\sin^3 x + C.

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