Utilize teste da raiz para determinar se cada uma das séries converge ou diverge. Justifique sua resposta
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{7}{(2 n+5)^{n}}

Passo 1

O enunciado pede para usar o teste da raiz na série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{7}{(2n+5)^{n}}.
Nesse teste, a gente calcula o valor
L = \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{\bigl|a_n\bigr|},
onde a_n = \tfrac{7}{(2n+5)^{n}}. Se L<1, a série converge absolutamente; se L>1, diverge; e se L=1, o teste é inconclusivo.

Passo 2

Vamos achar
\sqrt[n]{\bigl|a_n\bigr|} = \sqrt[n]{\frac{7}{(2n+5)^{n}}} = \frac{\sqrt[n]{7}}{2n+5}.

Passo 3

Observando o limite quando n cresce, temos \sqrt[n]{7}\to1 e 2n+5\to\infty. Logo
L = \lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt[n]{7}}{2n+5} = \frac{1}{\infty} = 0.
Como L=0<1, pelo teste da raiz a série converge absolutamente, portanto converge.

Resposta

A série converge (convergência absoluta pelo teste da raiz).

Exercícios relacionados