Use o Teorema Fundamental do Cálculo para encontrar as derivadas.
\frac{d}{d x}\left[\int_{x}^{0} t \operatorname{sec} t d t\right]

Passo 1

O enunciado pede a derivada de \displaystyle \int_{x}^{0} t\operatorname{sec} t\,dt.
O conteúdo é o Teorema Fundamental do Cálculo na forma geral para limites variáveis, que afirma
\frac{d}{dx}\int_{a(x)}^{b(x)} f(t)\,dt = f\bigl(b(x)\bigr)\,b'(x)\;-\;f\bigl(a(x)\bigr)\,a'(x).

Passo 2

Identificamos
f(t) = t\operatorname{sec} t,\quad a(x)=x,\quad b(x)=0.
Calculamos as derivadas dos limites:
a'(x)=1,\quad b'(x)=0.

Passo 3

Aplicando a fórmula do Teorema Fundamental do Cálculo:
\frac{d}{dx}\int_{x}^{0}t\operatorname{sec} t\,dt = f(0)\cdot 0 \;-\; f(x)\cdot 1 = -\,f(x) = -\,x\operatorname{sec} x.

Resposta

-x\operatorname{sec} x

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