Calcule a integral definida:
\int_{0}^{1} \frac{x^{2}}{\sqrt{36-x^{2}}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{1} \frac{x^{2}}{\sqrt{36 - x^{2}}}\,dx.
O conteúdo principal aqui é usar substituição trigonométrica para tratar a raiz do tipo \sqrt{a^{2}-x^{2}}.

Passo 2

Fazemos a troca de variável
x = 6\sin\theta, \quad dx = 6\cos\theta\,d\theta,
com os limites: quando x=0 temos \theta=0 e quando x=1 temos \theta=\arcsin\bigl(\tfrac{1}{6}\bigr). Além disso,
\sqrt{36 - x^{2}} = \sqrt{36 - 36\sin^{2}\theta} = 6\cos\theta.
Substituindo na integral,
\frac{x^{2}}{\sqrt{36 - x^{2}}}\,dx = \frac{36\sin^{2}\theta}{6\cos\theta}\,\bigl(6\cos\theta\,d\theta\bigr) =36\sin^{2}\theta\,d\theta.
Logo
\int_{0}^{1} \frac{x^{2}}{\sqrt{36 - x^{2}}}\,dx = 36 \int_{0}^{\arcsin(1/6)} \sin^{2}\theta\,d\theta.

Passo 3

Para integrar \sin^{2}\theta usamos a identidade
\sin^{2}\theta = \frac{1 - \cos(2\theta)}{2},
portanto
36 \int \sin^{2}\theta\,d\theta =36\int \frac{1-\cos(2\theta)}{2}\,d\theta =18\int (1-\cos(2\theta))\,d\theta =18\bigl(\theta - \tfrac12\sin(2\theta)\bigr)+C.

Passo 4

Agora avaliamos de \theta=0 a \theta=\arcsin(\tfrac16). Seja \alpha=\arcsin(\tfrac16). Então
\sin(2\alpha) =2\sin\alpha\cos\alpha =2\cdot\tfrac16\cdot\sqrt{1-\tfrac{1}{36}} =\frac{\sqrt{35}}{18}.
A integral definida fica
18\bigl[\theta - \tfrac12\sin(2\theta)\bigr]_{0}^{\alpha} =18\bigl(\alpha - 0\bigr) -9\sin(2\alpha) =18\,\alpha -9\cdot\frac{\sqrt{35}}{18} =18\arcsin\!\Bigl(\tfrac16\Bigr)-\tfrac12\sqrt{35}.

Resposta

18\arcsin\!\Bigl(\tfrac16\Bigr)\;-\;\frac{\sqrt{35}}{2}.

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