Calcule
\int_{-1}^{1} \int_{0}^{\sqrt{1-y^{2}}}\left(y e^{x^{2}}+y^{2}\right) d x d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\int_{-1}^{1}\int_{0}^{\sqrt{1-y^{2}}}\bigl(y e^{x^{2}}+y^{2}\bigr)\,dx\,dy.
O conteúdo envolve linearidade de integrais duplas, uso de simetria para anular termos ímpares em y e substituição trigonométrica para resolver o termo restante.

Passo 2

Pela linearidade, separamos em
\int_{-1}^{1}\int_{0}^{\sqrt{1-y^{2}}}y e^{x^{2}}\,dx\,dy \;+\; \int_{-1}^{1}\int_{0}^{\sqrt{1-y^{2}}}y^{2}\,dx\,dy.
O primeiro integral é zero porque a função y e^{x^{2}} é ímpar em y e o intervalo de y é simétrico em [-1,1].

Passo 3

O segundo termo fica
\int_{-1}^{1}\int_{0}^{\sqrt{1-y^{2}}}y^{2}\,dx\,dy =\int_{-1}^{1}y^{2}\sqrt{1-y^{2}}\,dy.
Como y^{2}\sqrt{1-y^{2}} é par em y, isso vale
2\int_{0}^{1}y^{2}\sqrt{1-y^{2}}\,dy.

Passo 4

Para calcular \displaystyle \int_{0}^{1}y^{2}\sqrt{1-y^{2}}\,dy, use a substituição
y=\sin\theta,\quad dy=\cos\theta\,d\theta,\quad \theta\in[0,\tfrac{\pi}{2}].
Então
\int_{0}^{1}y^{2}\sqrt{1-y^{2}}\,dy =\int_{0}^{\pi/2}\sin^{2}\theta\cos^{2}\theta\,d\theta =\frac{1}{4}\int_{0}^{\pi/2}\sin^{2}(2\theta)\,d\theta =\frac{1}{4}\cdot\frac{\pi}{4} =\frac{\pi}{16}.

Passo 5

Multiplicando por 2, a integral total é
2\cdot\frac{\pi}{16}=\frac{\pi}{8}.

Resposta

\displaystyle \frac{\pi}{8}

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