Calcule a integral
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \int_{0}^{\frac{1}{(\cos \theta+\sin \theta) \sin \varphi+\cos \varphi}} \rho^{2} \sin (\varphi) d \rho d \varphi d \theta
Resp.: \frac{1}{6}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\!\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\!\int_{0}^{\frac{1}{(\cos\theta+\sin\theta)\sin\varphi+\cos\varphi}} \rho^{2}\sin(\varphi)\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.
O conteúdo principal é mudança para coordenadas esféricas, onde \rho^{2}\sin\varphi é o fator de Jacobiano, e vamos identificar geometricamente a região de integração em coordenadas cartesianas para depois achar seu volume.

Passo 2

Em coordenadas esféricas padrões temos
x = \rho\sin\varphi\cos\theta,\quad y = \rho\sin\varphi\sin\theta,\quad z = \rho\cos\varphi,
e o elemento de volume
dV = \rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.
As integrais em \theta e \varphi vão de 0 a \tfrac{\pi}{2}, portanto estamos no primeiro octante x,y,z\ge0.

Passo 3

O limite superior de \rho é
\rho \le \frac{1}{(\cos\theta+\sin\theta)\sin\varphi+\cos\varphi} \;\Longleftrightarrow\; \rho\bigl(\sin\varphi(\cos\theta+\sin\theta)+\cos\varphi\bigr)\le1.
Mas \rho\sin\varphi\cos\theta = x, \rho\sin\varphi\sin\theta=y e \rho\cos\varphi=z, logo
x+y+z \le 1.
Assim a região é o tetraedro definido por
x\ge0,\quad y\ge0,\quad z\ge0,\quad x+y+z\le1.

Passo 4

A integral original calcula o volume desse tetraedro no primeiro octante. Sabemos que o tetraedro com vértices (0,0,0), (1,0,0), (0,1,0) e (0,0,1) tem volume
\frac{1}{6}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{6}

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