Calcule a integral
Resp.:
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular
O conteúdo principal é mudança para coordenadas esféricas, onde
é o fator de Jacobiano, e vamos identificar geometricamente a região de integração em coordenadas cartesianas para depois achar seu volume.
Passo 2
Em coordenadas esféricas padrões temos
e o elemento de volume
As integrais em
e
vão de
a
, portanto estamos no primeiro octante
.
Passo 3
O limite superior de
é
Mas
,
e
, logo
Assim a região é o tetraedro definido por
Passo 4
A integral original calcula o volume desse tetraedro no primeiro octante. Sabemos que o tetraedro com vértices
,
,
e
tem volume