Resolva as equações
\sqrt{x}+\sqrt{x+5}=\frac{10}{\sqrt{x}}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
\sqrt{x} + \sqrt{x+5} = \frac{10}{\sqrt{x}}
O conteúdo é equações envolvendo radicais; vamos precisar identificar o domínio de x, usar uma substituição para eliminar as raízes e, em seguida, cuidar de possíveis soluções extraviadas ao elevar ao quadrado.

Passo 2

Analisando a expressão, vemos \sqrt{x} no denominador, então precisamos de x>0
para que tudo faça sentido (radical e denominador).

Passo 3

Faça a substituição
t = \sqrt{x},\quad t>0.
Então \sqrt{x+5} = \sqrt{t^2+5} e a equação vira
t + \sqrt{t^2+5} = \frac{10}{t}.

Passo 4

Multiplique ambos os lados por t e isole o radical:
t^2 + t\,\sqrt{t^2+5} = 10
t\,\sqrt{t^2+5} = 10 - t^2.

Passo 5

Eleve ao quadrado para eliminar o radical:
\bigl(t\,\sqrt{t^2+5}\bigr)^2 = (10 - t^2)^2
t^2\,(t^2+5) = 100 - 20t^2 + t^4.
Expandindo o lado esquerdo e cancelando t^4 em ambos os lados, obtemos
t^4 + 5t^2 = t^4 - 20t^2 + 100
5t^2 = 100 - 20t^2
25t^2 = 100.

Passo 6

Daí
t^2 = 4
t = 2\quad(\text{descartamos }t=-2\text{ pois }t>0).

Passo 7

Voltando a x:
x = t^2 = 4.
Verificação rápida: \sqrt{4}=2, \sqrt{9}=3, soma 2+3=5 e 10/\sqrt{4}=5. Está ok.

Resposta

A única solução é x=4.

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